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 qu'on peut former en conservant toujours la première ligne et la première 

 colonne. 



» Je passerai sous silence ce qui est relatif aux paramètres du troisième 

 ordre. Bien que j'en aie construit un très-grand nombre, j'ai dû renoncer 

 à la discussion nécessaire pour distinguer ceux qui peuvent former un sys- 

 tème fondamental, et d'ailleurs leurs formes très-compliquées ne semblent 

 pas les destiner à de fréquents usages. 



» J'ai ensuite établi deux propriétés importantes des paramètres. La 

 première consiste en ce que le changement le plus général des variables, 

 qui habituellement complique beaucoup les expressions différentielles 

 ordinaires, comporte ici des réductions considérables, de telle sorte que 

 les résultats de toutes ces transformations peuvent se déduire, suivant 

 des lois toutes semblables à 2° et 3°, de deux déterminants, l'un dépen- 

 dant des dérivées de V et dont il suffit de calculer l'élément général, 

 l'autre dépendant uniquement des formules de transformation par des 

 paramètres différentiels du premier ordre (*). D'après la seconde pro- 

 priété, les paramètres différentiels sont les éléments essentiels de toute dis- 

 cussion, soit d'une fonction, soit d'une équation, quand on se borne tou- 

 tefois à la considération des accroissements infiniment petits du second 

 ordre'(il serait facile d'étendre ce résultat aux ordres supérieurs). Enfin 

 j'ai présenté, dans lui dernier chapitre, une application d'un autre genre 

 relative à la théorie de la chaleur. 



» J'arrive aux questions que je me suis proposées dans mon nouveau tra- 

 vail. Au lieu d'employer, à la formation de F, les dérivées d'une seule 

 fonction V, je suppose qu'on considère celles des k fonctions V', V^', . . . , V'*', 

 et qu'on admette même, dans F, les variables indépendantes, cas qu'on peut 

 ramener au précédent eu adjoignant au système des fonctions V la suivjinte 



V = - [jc-, + x'i + . . . -h x';; , qui ne contribuera toutefois à la formation 



de F que par ses dérivées premières; alors 



» /^" Les paramètres simultanés fondamentaux du premier ordre sont 



, /! ( / -f- I ) r , , . , , . . , , 



les fonctions qu on obtient en donnant a i et j toutes les valeurs, 



depuis I jusqu'à A., ùaiis la forme 



JVC) d\^> (t\<'> d\U) dV('^ dyo) 



1 h ... H 



dx, dx^ dx2 dx, dx„ dx„ 



(*) Certains de ces résultats avaient été établis auparavant par MM. He.sse, Lamé, 

 Brioschi . 



