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 vemeiit les coordonnées rectangulaires. Le facteur m, que Gauss appelle 

 vaguement le nomhre des enroulements, doit être entendu comme il suit : 



)) (considérons tons les points où la ligne s traverse une portion do sur- 

 face dont le contoiir s' est seul déterminé et que j'appelle l'aire s' , puis 

 comptons séparément ceux où. 5 coupe cette aire dans un sens et dans 

 l'autre. Le facteur m sera la différence des deux nombres ainsi obtenus. 



» Pour démontrer la formule (i), soient t, t' deux arcs comptés sur les 

 deux courbes dans le sens des mouvements des deux points M, W et ter- 

 nùnés respectivement à ces deux points. Ces arcs sont deux variables indé- 

 jiendanles dont la distance IMINl' est tuie fonction. Soient ^5, (19 les angles 

 infiniment petits que décrit MM' quand on donne aux deux variables ^, t' 

 les accroissements dl^ dl'; soit ((/0, dO') l'angle dièdre que (ont entre eux 

 les jjlans de ces dL^ns. angles. En transformant l'expression sounnse ii l'inté- 

 grale double, on la ramènera facilement à la forme suivante 



dOdS'^\n{dQ.,dO'). 



» Appelons généralement représentation sphérique d'une ligne / vue 

 d'un point P et désignons (P/) l'intersection d'ui'.e sphère fixe ayant pour 

 rayon l'unité avec le cône P/ qui a pour sommet le point P et pour direc- 

 trice la lign<! l quand on le transiiorte parallèlement à lui-même, de ma- 

 nière à placer son sommet au centre de la sphère. On voit aisément que 

 dO dO' i\u[dÔ ^ dO') est l'aire d'un des parallélogrammes infiniment petits 

 dans lesquels la surlace de la sphère est décomposée par deux systèmes de 

 courbes qui sont Jes représentations spliériques de chacune des deux 

 lignes s, s' vue des différents points de l'autre. 



>■ Dans le cas où (M^-) partage la s])hère en deux parties seulement, soit 

 n = aire (M^') l'aue sphérique qui est à droite de la ligne (My) parcourue 

 dans le sens qui répond à dt positif. 



» Soit i' l'intégrale Y étendue à toute la ligne s' et à l'arc ^ ; on a 

 l'équation 



(2) j^dt=^de fdQ'sin(dS,de'), 



dont le second membre représente dans tous les cas l'aire décrite sur la 

 sphère par la ligne (My) quand le point M décrit ds, et, par suite, repré- 

 sente—- (^/< dans le cas où (i\1y) ne partage la sphère qu'en deux parties, et 

 alors on a 



(3) rlt^-fdt- 



^ ' dt dt 



