( 709 ) 



» Traitons d'abord ce cas simple, et pour qu'il ait lien quel que soit M , 

 supposons que la ligne s' soit pl;uie et n'ait aucun point multiple. L'équa- 

 tion (2) montre que t'est une fonction continue de t, et si u l'est aussi de tg 

 à t, = to-h s, l'équation (3) intégrée entre ces limites donne i>s — i'„ = it^ — «„ ; 

 mais dans tons les cas elle donne 



(4 ) i's — ''o = «,< — U„~l\], 



lU désignant la somme des variations brusques que la fonction u peut 

 présenter entre ces limites. Or on a i'j — t'^ = V et n^ — ii„ = o, puis(|ue s 

 est une ligne fermée; l'équation (4) ilevient donc V =: — 2U. Pour que u 

 présente des discontinuités, il faut et il suffit que s traverse le plan de s' en 

 un point extérieur à l'aire de s'. La valeur de cliaque variation brusque est 

 XJ = ± 4îT) car l'aire (M^-) prend alors les deux valeurs simultanées o,4~. 

 Le signe dépend du sens dans lequel s' traverse le plan de s, parce que 

 l'aire (M^O est plus grande ou plus petite que 27: suivant que le point M 

 est d'un côté ou de l'autre de ce plan. Et si l'on- adopte les notations sui- 

 vantes pour désigner le nombre des points où s traverse le plan de s' : 



D.ins l^intérieiu- A l%;\lérieiir 

 (le s'. de s'. 



De gauche ;i droite ij ej, 



De droite à gauche. 



on aura, au signe près, 2U = 4 {e,i — f*^)'^- Mais puisque la ligne s est fer- 

 mée ej -+- id = e =^ -H ig-, d'où 2U = 4 ((^ — ht) ^- Donc enfin l'équation (4) 

 devient 



(5) V = 4 (/,/-(, 



71. 



» C'est la formule de Gauss, et le nombre entier ij — /„ satisfait à ma 

 définition générale du nombre m. 



n On écarte la restriction iaite sur la nature de s' soit géométriquement, 

 en décomposant l'aire s' en éléments dont on conçoit tous les périmètres 

 parcourus par autant de points qui tournent dans le même sens, et sommant 

 l'équation (5) appliquée à chacun d'eux; soit analytiquement, en déplaçant 

 tous les ])oints de l'espace suivant une loi continue et telle que ht trans- 

 formée de l'aire / soit plane. 



» Si les courbes s, s' se coupent, et si l'on veut que l'intégrale (r) aiteti- 

 core une valein- déterminée, il faudra en donner une définition; supposons 

 qu'on la donne de manière que la fonction i' reste continue (|uand le 

 point M franchit lui point I d'intersection. On voit par luie figure qu'alors 



