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ligne d'intersection ou de contact 



I 1 

 sinaa' R, R, 



I I 



» 4. Si en particulier « = o on -> cette formule donne «' = o ou -» ce 



qui exprime ce théorème dû à Joachimsthal : Quand deux surfaces 2, 1' se 

 coupent à angle constant, si l'une admet l'intersection ç pour ligne de 

 courbure, l'autre l'admet également comme telle. 



» 5. Le théorème 1 montre immédiatement que la réciproque est vraie. 

 Deux surfaces qui admettent une même courbe comme ligne de courbure 

 se touchent ou se traversent suivant cette ligne à angle constant. 



» 11 n'est peut-être pas hors de propos de remarquer que la théorie de 

 la courbure des lignes de l'espace se rattache immédiatement à celle de la 

 courbure des surfaces : si, en effet, on considère toutes les surfaces qui 

 admettent pour ligne de courbure celle que nous avons appelée o-, on verra 

 que sa surface polaire est le lieu géométrique des centres de courbure prin- 

 cipaux qui, pour toutes ces surfaces, correspondent à celles de leurs direc- 

 tions principales qui sont tangentes à la ligne de courbure donnée a. Cha- 

 cune des génératrices de cette surface polaire est le lieu des divers centres 

 de courbure principaux construits pour toutes les surfaces et pour un même 

 point de g. Chactnie de ses lignes géodésiques ou chacune des développées 

 de a est le lieu des centres de courbure principaux construits pour une 

 même surface et pour tous les points de g. Le lieu des centres de courbure 

 de (7, ou, ce qui revient au même, l'arête de rebroussement de sa surface 

 polaire est celui des centres principaux des diverses surfaces construits, 

 pour chacune d'elles, au point où la direction de sa ligne de courbure g 

 est osculatrice à l'une de ses lignes géodésiques. Enfin l'angle sous lequel 

 se coupent deux des surfaces est la différence de ceux que forment avec 

 une même génératrice de la surface polaire les deux lignes géodésiques qui 

 leur correspondent. 



» La torsion d'une ligne à double courbure dv n'est visiblement autre 

 chose que la torsion géodésique de cette même ligne, considérée comme 

 l'une des courbes de la surface développable formée par ses tangentes et 

 dont elle est l'arête de rebroussement. Donc le premier théorème fournit 

 comme cas particulier le suivant : 



» 6. L'angle sous lequel une surface est traversée par le plan osculati ur 



