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 fie l'une quelconque de ses courbes varie de la quantité 



dV — dv -\ — ( ;- ■ — I sin lads. 



2 \R, R2 / 



« 7. Plus particulièrement, si la ligne est géodésique, dY = o; d'où 



dv = - [ — sm a a. 



2 VR, R,/ 



Ce sont les conséquences de cette dernière formule que développe l'auteur 

 de la Note citée. On voit en outre que les propriétés qu'il signale ne sont 

 pas caractéristiques des lignes géodésiques, et qu'elles ont lieu générale- 

 ment pour toute la classe des lignes dont les plans traversent lu surface 

 sous un angle constant quelconque. 



» 8. La torsioti d'une ligne de courbure d'une surface varie comme 

 l'angle sous lequel son plan osculateur coupe cette surface. 



» 9. Sur toute section plane d'une surface, la torsion géodésique varie 

 comme l'angle que cette surface forme avec son plan. 



» 10. En combinant ce dernier théorème avec ceux d'Euler et de Meu- 

 nier, on trouve, en désignant par - la courbure de la section plane, 



d\y _ ( I sinVN /sinV i 



~lsj ~ \% rj \~ R^ 



Pour une section quelconque il n'y a qu'à changer V en V — f au premier 

 membre. 



» 11. Le théorème de M. Dupin fait connaître, en chaque point d'une 

 courbe (7 tracée sur une surface, la direction de la génératrice rectiligne de 

 la surface développable circonscrite suivant celte courbe; le corollaire 3 

 donnerait eu outre le rayon de courbure principal de cette développable : 



on trouve, en désignant par - la courbure normale de l'arc a en M, et par — 



la courbure principale de la surface développable, 



I I dx' 



c'est-à-dire que l'excès de la courbure cherchée sur la courbure normale 

 de (7 est une troisième proportionnelle à la torsion géodésique de 7 et à sa 

 courbure normale. 



» Les démonstrations géométriques de 1 et 6 sont d'une simplicité telle, 

 qu'il est inutile de les indiquer. Il est clair du reste que chacune de ces 

 propositions est un corollaire de l'autre. » 



