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trois mêmes points centraux, trois de ces groupes sont composés de deux 

 poinls doubles (i). 



» Lorsqu'une involution du quatrième ordre possède deux groupes com- 

 posés chacun de deux points doubles, si ces points sont conjurés harmo- 

 niques, il existe ini troisième groupe formé de points doubles, et tous les 

 groupes ont les mêmes points centraux. 



» 3. On peut considérer l'involution spéciale que j'examine, comme 

 résultant de la coexistence de trois involutions quadratiques soumises à des 

 conditions particulières. 



» Soient O', O", O'" trois points d'iuie droite : je détermine le segment 

 e'f' dont le milieu se trouve en O' et qui est conjugué harmonique du seg- 

 ment 0"0"', et de même les segments e"/", e'"/'" dont les milieux sont O" 

 et O'", et qui sont respectivement conjugués harmoniques de O'O'" et de 

 0'0";je considère les trois involutions quadratiques qui ont pour points 

 doubles e' et/', e" et/ ", e"'ety"; je couqjose un groupe avec un point 

 pris arbitrairement sur la droite, et les points qui lui sont conjugués dans 

 les trois involutions : ces quatre points sont tels, que chacun d'eux est 

 conjugué des trois autres dans les trois involutions. Tous les groiqies ana- 

 logues constituent une involution du quatrième ordre, dans laquelle les 

 points doubles e'et/', e" et/", e'" et/'" forment trois groupes. Les points 

 O', O", O" sont, par la construction même, les points centraux de tous les 

 groupes. 



» 4. Un groupe est déterminé ])ar la position du centre des moyennes 

 distances des points qui le comi;osent. Quand ce centre coïncide avec un 

 des points centraux, le groupe se réduit aux deux poinls doubles corres- 

 pondants. Comme d'ailleurs, dans la série des groupes, chacpie point double 

 réel est la transition de deux points réels à \\x\ couple de points imaginaires, 

 on voit que lorsque le centre des moyennes distances supposé mobile sur 

 la droite passe par un point central, si les points doubles sont réels, les 

 points réels du grou|)e deviennent imaginaires, tandis que les points ima- 

 ginaires sont remplacés par des points réels. 



» En faisant diverses hypothèses tant sur la position du centre des 

 moyennes distances du groiqie considéré, que sur les poinls cenlraiîx qui 

 ne sont pas nécessairement tous réels, distincts et à distance finie, on recon- 

 naît, par la théorie de l'involution quadratique, les dispositions cpie peuvent 



(i) D'apri'S lin tliéorèiiie dû à M. di^ Joncjiiières, une involution de l'ordre n possède 

 2 (rt — i) points doiiblts. [Annali di Matcinalica; l85g, p. y^.j 



C. W. iSdS, 1" itmcjire. (T. LXVl, N" 17.) I OQ 



