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 prendre les groupes de l'involiUion spéciale du quatrième ordre. Je ne peux 

 introduire ici, niérne en résumé, les résultats de cette discussion. 



» 5. /application aux lignes spiriques. — Une spirique possède sur son 

 axe de symétrie quatre sommets et quatre de ses seize foyers, qui suffisent 

 pour déterminer les douze autres. Ces deux groupes de quatre points ont 

 les trois mêmes points centraux : ce sont les points où les axes des six 

 tores qui passent par la spirique rencontrent deux à deux son axe de 

 symétrie. 



» Dans une involution du quatrième ordre dont tous les grouj)es ont les 

 mêmes points centraux, les points de deux groupes quelconques appar- 

 tiennent à une spirique, les uns comme sommets, les autres conune foyers. 



» 6. La connaissance des propriétés de l'involution spéciale du qua- 

 trième ordre facilite beaucoup l'étude de la spirique. Aux diverses dispo- 

 sitions que les groupes peuvent avoir, correspondent autant do variétés de 

 cette courbe. J'indiquerai seulement ici quelques résultats qui présen- 

 tent un intérêt particulier. 



» Quand on place les foyers aux points centraux de l'involution, on a 

 un ovale de Descartes. Les six tores se présentent comme réels, mais dé- 

 composés, chacun en quatre fois le plan de la spirique. 



» Si ce sont les sommets qui occupent les points centraux, la courbe se 

 réduit à une cubique passant par les points circulaires à l'infini, laquelle, 

 jointe à la ligne de l'infini, représente une spirique. Tous les tores sont 

 imaginaires. 



» Lorsque l'on fait coïncider les foyers et les sommets sui- les iioinfs 

 d'un même groupe, la spirique se décompose, et on trouve deux fois la 

 ligne de l'infini, et deux fois l'axe de symétrie. On ne doit considérer sur 

 cet axe que deux segments limités aux points du groupe, de sorte qu'on a 

 un système du genre de ceux que M. Chasles a appelés êtres rjéotDétriqiies 

 (séance du 22 avril 1867). Chaque tore est remplacé par le \)\àr\ de l'infini 

 pris deux fois, et par l'axe de symétrie qui représente un cylindre de révo- 

 lution dont le rayon est nul. 



» 7. Dans le cas particulier où deux des points centraux coïncident et 

 où le troisième s'éloigne à l'infini, les groupes ne forment plus une invo- 

 lution, et pour en déterminer un on peut se donner arbitrairement deux 

 points. Cette circonstance se présente dans la spirique lorsqu'elle a un 

 centre, et alors, comme je l'ai dit dans ma Note du 10 février, elle possède 

 deux axes de symétrie et elle appartient à douze tores. Pour la discussion, 

 on doit considérer simultanément les groupes formés sur les deux axes. 



