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» Quand les quatre sommets situés sur l'un des axes se confondent deux 

 à deux, la spirique se décompose en deux cercles égaux. Six des tores sont 

 nécessairement imaginaires. Quatre autres se confondent en un seul, qui est 

 engendré par la révolution des cercles autour de l'axe de .symétrie, leur 

 sécante commune. Les deux derniers sont réels ou imaginaires, suivant 

 que cette sécante est elle-même réelle ou idéale : le plan de la courbe les 

 touche chacun en deux points. 



» 8. Application à la résolution de l'équation du quatrième degré. — Les 

 formules relatives à l'involulion spéciale du quatrième ordre peuvent ser- 

 vir à résoudre l'équation générale du quatrième degré : il suffit de consi- 

 dérer cette équation comme représentant un groupe de quatre points. La 

 résolvante est l'équation qui fait connaître les points centraux. En choisis- 

 sant une de ses racines on détermine celle des trois involutions à laquelle 

 on veut rapporter les quatre points; ils y forment deux couples, et sont par 

 conséquent donnés par deux équations du second degré. On obtient sans 

 difficulté les coefficients de ces équations. 



» On est ainsi conduit à des calculs analogues à ceux des méthodes 

 adoptées pour la résolution de l'équation du quatrième degré. Les for- 

 mules, sans être compliquées, n'offrent pas un caractère particidier de 

 simplicité, mais elles ont une signification géométrique bien déterminée, 

 et les singularités qu'elles présenteraient dans diverses questions pourraient 

 indiquer dès théorèmes intéressants. 



» Si l'équation du quatrième degré a une racine double ou triple, la 

 résolvante possède la même racine au même degré de nuiltijilicité. 



» Voici les formules : 



Équation à résoudre x* -h qx- -t- «.x- -f- / = o, 



Résolvante ) ' + r —-7—0 = 0, 



Équation du second degré ... x- -h px + - iq -{- p^ — -\ =^ o. 



» On doit, dans cette dernière équation, attribuer successivement à la 

 lettre p les deux valeurs ± i / — , y étant l'une quelconque des racines de 



la résolvante. 



» Quand le coefficient s est nul, deux des points centraux coïncident, 

 et le troisième s'éloigne à l'infini. Dans ce cas les groupes ne forment 

 pas une involution, connue je l'ai dit à l'article précédent, et les formules 



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