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 (leviciincnt illsisoires; mais, comme l'équation proposée ne contient lin- 

 coiHuie qu'il des puissances paires, sa résolution ne présente aucune dif- 

 ficulté. » 



ANALYSE. — Théorèmes généraux sur les suhstiliitions ; par M. C Jordan. 



« 1 . Un groupe de substitutions, T, est dit isomorphe à un autre groupe G, 

 si l'on peut établir entre leiu's substitutions une correspondance telle : 

 i** que chaque substitution de G corresponde à ime seule substitution de 

 F; 1° que le produit de deux substitutions quelconques corresponde au 

 produit de leurs correspondantes respectives. 



)) Soit G un groupe quelconque de substitutions entre les lettres 

 jr,, Xj,..., x^\ F une fonction rationnelle quelconque de .^-j, Xo, . . . ; 

 F,, Fj,..., Fv les diverses transformées qu'on en déduit en effectuant entre 

 les lettres X|, x\,..., les diverses substitutions du groupe G. Cliacime de 

 ces substitutions, effectuée simultanément sur F,, Fj,..., transformera 

 ces fonctions les unes dans les autres; elle équivaudra donc à une certaine 

 substitution opérée entre les v fonctions F,, Fj, . .., F„. Ces nouvelles sub- 

 stitutions ainsi équivalentes à celles de G forment un groupe transitif, et 

 isomorphe à G. 



)) Réciproquement, tout groupe transitif et isomorphe à G pourra être 

 formé par le procédé que nous venons d'indiquer. 



» 2. Théorème. — Soit n un entier constant quelconque; les fonctions 

 de k lettres, symétriques ou alternées par rapport a k — n de ces lelfres, 

 auront moins de valeurs distinctes que celles qui ne jouissent pas de cette 

 pi'opriélé. 



» Cette proposition sera parfois en défaut pour les petites valeurs de k; 

 mais on pourra toujours assigner à k une limite au delà de laquelle elle sera 

 nécessairement vraie. 



» Le cas le plus important de ce théorème est celui où /. = i . Il a été 

 donné dès i 845 par M. Bertrand. En posant k = 2, on retrouve luie pro- 

 Ijosition de M. Serrct. 



)) 3. Théorème. — Un groupe de substitutions G entre « + v lettres qui 

 ne contient pas le groupe allerné ne peut être v fois transitif (v étant > 12) 

 que si l'une des inégalités suivantes est satisfaite : 



(1) I . '2 . . .(v — i) < n'^ 



(a étant le nombre des fadeurs piemiers de 11 + i), 



