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 les équations aux dérivées partielles (i), si l'on tait, pour abréger, 



(6) — =A-j, ^ = kl, 



^ ' n, " n, -' 



ont pour intégrales les expressions finies 



(7)"'==- ï^TÂ^ ' "^= ï;T^7 ' 



où J ,, F, ,^2, Fo sont des fonctions arbitraires, qui doivent, pour notie pro- 

 blème, prendre une suite de formes telles que les conditions définies (2), 

 (3), (4) soient satisfaites de oc, = o à x, ^ a, , de a'o = o à jr o = «o, et de 

 / = o à t ^ ce . 



» Or on peut., par de simples ijuadralures., trouver ces formes successives, 

 lors même qu'au lieu dfs conditions initiales (4) on aurait, plus générale- 

 ment, pour H,, »,, — ') -j^ des fonctions quelconques continues ou discon- 

 tinues de j?|, Xj à l'instant ^ = o de la jonction. 



» Pour nous borner ici au cas, exprimé par (4), de deux vitesses initiales 

 V,, Vo sans aucune compression préalable des bnrres, si nous a|jpelons Ç, 

 en général, la variable de chacune des quatre fonctions, et si, pour expri- 

 mer les limites de ses valeurs entre lescpielles la fonction conserve une 

 même forme en Ç, nous nous servons comme en 1867, en la modifiant 

 un peu,, de la notation claire et commode indiquée en 1864 par M. Phil- 

 lips, les équations (4) nous donnent d'abord : 



(8) 2kj:(-ç = ';-^"') = '^, ^Lj.k = 



(9) ^k,FA: = ''^] = -^, 2LFJ^: 



II, -+- rij 2 



sans qu'il faille ajouter de constantes, car celles de (9) détruiraient celles 

 de (8) en composant les y, -+-F|,yo + Fo entrant dans «,, 11.,. 



)) Or la première condition-limite i ~] où l'on met pour //, sa va- 



yc/.i-, /x,=o ' 



leur (7) en jc, et t donne, si l'on y remplace 



JC,-\-/l,~li,t par ^, (IVni ,v, + /i, -h /,-,t pur ihy — 'Ç,, 



et si l'on y suppose/, (2//, - Ç) cu.,iiu eu Ç, une équation contenant F, Ç 

 et F', Ç, et qui peut èîre regardée comme différeniielle linéaire du premier 

 ordre en F, et 'Ç. Cette équation foiuuit en l'uitégrant, C, étant uiie cou- 



