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notre équation prend la foime 



(Mo + M, a? + M,j- + M3 )■■ + M^x}--\- M^x'-)djc 

 — (No+ N,x + N^r + Na^r^ 4-N4.n- -+- N^j-j^r 



-+- (P, .r- -t- Po.rr + Pa^)-) (^(i^>- — fdx) = o, 



et les quinze coefficients M, N, P dépendent des seize coefficients A par 

 quinze relations algébriques que l'on peut considérer comme luic sorte 

 d'intégrale de l'équation ci-dessus. L'un des coefficients diagonaux A^,, 

 reste arbitraire, les quinze relations en question ne déterminent que les 

 différences des A^^. On peut, en effet, les augmenter tous d'une même 

 quantité £, sans rien changer ni aux coefficients M, N, P, ni aux différences 

 \ — X;i, ni aux coefficients a qui déterminent les u. » 



Gl!;OMÉTRJl£. — Réciproque d'une proposilion sur les coniques Itoiiiotlié- 

 liques qui ont le même centre. Note de M. E. Barbjer, présentée par 

 M. Bertrand. 



« 1 . Si deux courbes sont telles que taule sécante donne deux segments égaux , 

 compris l'un et l'autre entre les deux courbes, les courbes ne sont cadres que 

 deux coniques homothétiques. M. J. Bertrand, après avoir mis en évidence 

 le défaut d'une prétendue démonstration de cette proposition, la démon- 

 tra, dans ]e Journal de M. Liouville, dans le cas de deux courbes infiniment 

 voisines; nous pouvons démontrer la proposition en général, comme on 

 va le voir dans cette Note. 



» 2. Lemnie. — Si l'on peut démontrer qu'une courbe est telle, qu'en 

 prenant à volonté deux points sur cette courbe, on puisse faire passer une 

 conique doublement osculatrice à la courbe en ces deux points, la courbe 

 ne peut être qu'une conique qui se confond avec toute conique double- 

 ment osculatrice qu'on lui mènerait. 



» Pour démontrer cette proijosirion, rappelons-nous : i" que M. Ber- 

 trand a démontré que les coniques sont les seides courbes tlont toutes les 

 lignes diamétrales sont droites; 2° qu'il n'y a pas de courbe qui, en un 

 point quelconque, ait avec la tangente au même point un contact d'ordre 

 supérieur au premier. 



» Au milieu de la droite qui joint les points d'osculalion de deux 

 courbes doublement osculatrices, les lignes diamétrales conjuguées à la 

 direction de la droite sont osculatrices; si l'une des deux courbes est une 

 conique, on peut donc diie cju'au milieu de la ligne droite, ipii joint les 



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