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 deux poinis d'osculalion, la ligne diamétrale correspondante est une oscu- 

 laltice à sa tangente. 



M Le lemnie se démontre maintei.nnt ainsi : La courbe dont il s'agit a 

 des lignes diamétiales coiitiniiellement osciilatrices à ses tangentes, c'est-à- 

 dire des lignes droites diamétrales; en vertn de la proposition démontrée 

 par M. Bertrand, la courbe ayant des lignes droites pour lignes diamétiales 

 conjuguées à une direction quelconque ne peut être qu'un conique : le 

 lemme s'ensuit. 



» 3. Le lemme qui vient d'être posé nous permet de réduire la dé- 

 monstration de notre proposition à la démonstration de celle-ci : Si deux 

 courbes sont telles, que toute sécante donne deux segments égaux, com- 

 pris l'un et l'autre entre les deux coin-bes, on jieut mener une conique 

 doublement osculatrice en deux poinis pris à volonté sur l'une des 

 courbes. 



» Soient B et C deux points pris sur l'une des courbes : la corde BC })ro- 

 lonqée coupe l'autre courbe aux points A et D, ou a AB = CD. Nous pou- 

 vons considérer une première conique ayantdeux points infiniment voisins 

 du point B, communs avec la pren)ière courbe, et trois points infiniment 

 voisins du point C, communs avec cette même courbe, puis faire passer par 

 le point A une seconde conique concentrique et homotliétique à la pre- 

 mière; elle passera par le point D, à cause de AB = CD. 



» Une sécante faisant avec la ligne droite ABCD lui angle infiniment 

 petit du premier ordre doiuierait, dans le système des deux courbes, 



A'B'= CD', 



et dans le système des deux coniques, 



A"B" = C"D", 



d'où, par soustraction, l'équation 



A' A' - B' B " = C'C" - D' D ", 



dans laquelle A'A", B'B", C'C", D' D" sont des quantités infiniment petites. 

 M Or, nous alloiis supposer qu'il n'y ait que deux points infiniment voi- 

 sins l'énnis au point B et trois réunis au point C, et léduire à l'impossible 

 cette supposition; nous l'abandonnerons alors, et remarqiuuit que nous 

 pouvions astreindre notre première conique à ces cin(| conditions, nous 

 serons conduits à la supposition de l'énoncé, à .savoir : que celte conique, 

 déterminée par le contact et par l'osculalion d'iuie courbe en des points 

 donnés B et C, est, par cela même, doublement osculatrice à celle 

 courbe. 



