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» 4. Réduisons à l'absurde l'hypothèse d'un contact en A et d'une oscu- 

 lation en C, par le moyen de l'équation : 



A' A" — B' B" = C'C" — D' D", 



on l'on peut supposer l'une des quantités nulles, en f,iis;int passer la sé- 

 cante A'B'C'D' par l'un des points A, B, C, ou D : 



» 1° Si A'B'C'D' passe an point A, A' A"= o, et comme C'C" est d'ordre 

 supérieur à B'B", on en conclut qneB'B" et D'D" sont de même ordre et 

 de même signe ; il y a donc nn simple contact en D comme en B, et le sens 

 du contact est le même en ces deux points. 



.. 2" Si A'B'C'D' passe an point D, on conclut que A' A" et B'B* sont de 

 même ordre infinitésimal et de même signe, et, par suite, qu'en A, comme 

 en B, il y a nn simple contact, le sens du contact étant le même en ces 

 deux points. 



» Notre hypothèse nous amène donc à affirmer hypothéliquement, 

 qu'en A et en D la seconde conique est tangente à la seconde courbe, 

 dans nn même sens, qui est le même que le sens dn contact de la première 

 conique et delà première courbe au point B. 



» 3" Si A'B'C'D' passe au jioint B, nous devons admettre que A'A" et 

 D D" sont de signes contraires; les contacts on A et en D n'ont donc pas le 

 même sens, ce qui contredit nue conclusion précédente. 



» L'hypothèse d'un contact simple en B et d'une oscnlation en C ne 

 se soutient pas; nous devons l'abandonner, ainsi que nous l'avons an- 

 noncé, pour adopter qti'en deux points pris sur la première courbe, il y a 

 nue conique doublement osculatrice à cette courbe; en vertu de notre 

 lemme, cette première courbe n'est antre cpi'une conique, et, par suite, la 

 seconde courbe se confond avec une conique homothélique à la prennére. 



» 5. Nous i^ouvons donc affirmer qu'il n'y a que la couche ellipsoïdale, 

 considérée dans la question de lattraction des ellipsoïdes, qui prenne deux 

 segments égaux de toute sécante qui la traverse. 



» En effet, toutes les sections planes pourraient être soumises à notre 

 démonstration, et l'on sait, d'aillem-s, qu'il n'y a que les surfaces du se- 

 cond degré dont toutes les sections ])lanes soient des coniques. 



» 6. Pour terminer, nous indiquerons la démonstration qu'on peut 

 donner de cette proposition : Il n'y a que les coniques rlonl toutes les lignes 

 diamétrales soient droites. 



» Eu elfet , dans une combe, on peut uiscrire une ligne brisée 

 ABCDEFGHI. . . , dont les côtés soient dternativement parallèles a deux 



