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 M. J. A. Serret présente, à propos d'un article de M. Allégrel, inséré 

 au Compte rendit de la dernière séance (p. ii44)) '<^s remarques sui- 

 vantes : 



« Dans l'article dont il s'agit et dont je prends à l'instant connaissance, 

 M. Allégret indique un théorème qu'il dit avoir découvert et duquel il ré- 

 sulterait que certaines transcendantes dont l'auteur s'occupe « ont une grande 

 » analogie avec les transcendantes elliptiques de première espèce. » Je crois 

 devoir faire remarquer à l'Académie que le théorème dont il s'agit n'est 

 qu'un cas particulier du fameux théorème d'Euler, cité par M. Allégret 

 lui-même, et sur lequel reposent les formules relatives à l'addilion des 

 arguments dans la théorie des fonctions elliptiques. Effectivement, les dif- 

 férenlielles que M. Allégret considère se ramènent très-facilement à la forme 

 elliptique ordinaire par une substitution algébrique. Par exemple, on peut 

 faire disparaître la première et la troisième puissance de la variable en 

 employant ime substitution fractionnaire et linéaire, et, pour achever la 

 transformation, il suffit ensuite de prendre pour variable nouvelle la racine 

 carrée du radical cidjique qui figure au dénominateur de la différentielle. 

 Tout cela est connu depuis longtemps. » 



M. LiocviLLE adresse, au sujet du même article, les observations qui 

 suivent : 



•' L'équation différentielle dont M. Allégret donne l'intégrale algébrique 

 dans le Compte rendu de la dernière séance, et qu'il trouve remarquable, 

 n'est au fond qu'un cas particulier de l'équation d'Euler que M. Allégret 

 rappelle d'abord. Un radical cubique portant sur un polynôme du troi- 

 sième degré se ramène en effet très-facilement à un radical carré portant 

 sur un polynôme aussi du troisième degré, et c'est en s'appuyant sur cette 

 remarque que I^egendre réduit les formules différentielles qui en dépen- 

 dent, comme celle de M. Allégret, à des formules elliptiques. M. Allégret, 

 qui paraît ne pas connaître les travaux de Legendre, ne connaît pas davan- 

 tage ceux d'Abel, de Jacobi, d'IIermite, etc. S'il avait lu le très-ancien 

 Mémoire d'Abel sur une classe de fonctions transcendantes, il saurait qu'il 

 existe beaucoup de systèmes d'équations différentielles dont on peut obte- 

 nir les intégrales tout à la lois sous forme transcendante et sous forme 

 algébrique. Un des exemples les plus simples auxquels on puisse appliquer la 

 méthode d'Abel est celui que M. Allégret croit avoir découvert : aussi l'ai-je 

 donné il y a plus de quatorze ans dans mon cours au Collège de France, 



