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MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Théorème relatif an moavemenl le plus général 

 ifun Jhnde; par M. J. Bertrand. 



« Les géomètres ont étudié avec e;rand succès la loi du déplacement 

 d'un système solide invariable de forme, et représenté d'une manière fort 

 simple le mouvement infiniment petit le plus général qu'il puisse prendre. 

 Lorsqu'on suppose, au contraire, toutes les molécules d'un système indé- 

 pendantes les unes des autres et assujetties seulement à former une masse 

 continue dont la forme et la densité peuvent varier à chaque instant, le 

 mouvement individuel de chacune est complètement indéterminé, et l'on 

 est tenté, au premier abord, de considérer comme inutile la recherche d'une 

 loi générale qui, par la manière même dont la question est posée, semble ne 

 pouvoir exister. Mais la loi de continuité des fonctions impose ici, comme 

 ailleurs, des conditions très-précises, et, de même que dans une surface, la 

 courbure individuelle de chaque section restant complètement arbitraire, 

 l'ensemble reste soumis à des lois bien connues, les vitesses des molécules 

 dans une masse en mouvement satisfont nécessairement à des lois simples, 

 dont l'étude est l'objet de cet article. 



» Soient u, v, w, à un instant donné, les composantes parallèles aux 

 axes de la vitesse d'une molécule M dont x^y, z sont les coordonnées; 

 considérons un élément plan 0, contenant M dans son intérieur, et cher- 

 chons les conditions pour que, après un temps infiniment petit dt^ toutes 

 les molécules actuellement situées sur Q, se retrouvent ensemble sur un 

 plan parallèle à celui qu'elles occupaient d'abord. Il faut évidemment, et 

 il suffit, que les vitesses décomposées suivant la normale au plan û soient 

 égales pour toutes les molécules considérées. Soient «, |S, y les angles 

 formés avec les axes par la normale à Q, la vitesse qui doit rester con- 

 stante est 



V = ucosc/. H- t'cos|3 + «'cosy, 



et l'on doit avoir 



toutes les fois que 



d\ , dv , rfV , 

 -^dx ^- -— ci) -h -—dz = o, 



dx dy dz 



dx cos a -t- dj cos (i -h dz cos 7=0; 



les équations du problème sont, par conséquent, 



dV d\ d\ 



dx dy dz 



COSK cosp cosy 



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