On a donc 



dtansO 



( '229 ) 



(i)' I {h> (Iv d\\ 



h 1 '-\dt 



dO dx \dx dy d.v j dy 



'^ cos- 9 / du du dy \ d.r 



\d.r dy 



dr\ 



dy 

 et, en négligeant dl- et remplaçant -j- partangS, 



dB 



h - (£ -+- t^"g^ S)^^ - ''^"g^(ê + 1 tange)^^ 



cos- 9 \</.r ° dy J ^ \d.T dy 



dQ t n dv . - f, 1 dv du\ du . ,- 



— - = COS-9 -- + sin9 cos9 ■ -r- — -3-sin-& ; 



dl dx \dy d.r j dy 



par où l'on voit que la vitesse de rotation de la droite considérée dans son 

 plan, est inversement proportionnelle an carré du rayon vecteur d'une cer- 

 taine indicatrice du second degré. Si cette indicatrice est une ellipse, tontes 

 les droites issues de son centre tournent dans le même sens, avec des vitesses 

 inégales bien entendu; si elle est luie hyperbole, les unes tournent de 

 gauche à droite, les autres de droite à gauche, et celles qui sont dirigées 

 dans le sens des asymptotes ont une vitesse nulle. C'est le cas où l'éqnation 

 en S, formée plus haut, a ses trois racines réelles. Il existe alors lui pni-al- 

 lélipipéde dont les faces, dans le déplacement infiniment petit, restent pa- 

 rallèles à elles-mêmes. Mais celte propriété n'est nullement partagée, 

 comme cela aurait lieu nécessairement pour un corps solide, parles droites 

 ou les plans non parallèles à ses faces et situés dans son intérieur. 



» On sait quelle importance présente dans l'hydrodynamique l'expres- 

 sion différentielle 



u djc -irvdy-\- \v dz, 



et combien les équations du mouvement sont simplifiées quand elle devient 

 une différentielle exacte. Ce cas est celui où les trois pians dont nous avons 

 parlé sont rectangulaires deux à deux : ils sont alors toujours réels, mais il 

 n'existe aucune différence essentielle avec le cas général, dans lequel les 

 trois plans peuvent être réels aussi et former des angles aussi voisins qu'on 

 le voudra d'im angle droit. 



» Ces résultats méritaient, je crois, par leur siinplicifé comme par lenr 

 généralité, d'être signalés à l'attention des géomètres et des physiciens. J'ai 

 cru d'autant plus utile de le faire, qu'ils se trouvent en désaccord avec un 

 Mémoire fort remarqué (*) de l'un des physiciens les plus justement illus- 

 tres de l'Allemagne. L'auteur, malgré sa connaissance très-profonde des 



(*) Journal de Crclle, t. LV, p. 25. 



