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 Œuvres de Lagnmge est en distribution an Ministère de l'Instruction 

 publique, er prie les Membres auxquels ce volume doit être remis de vou- 

 loir bien le f;nre retirer aussi promptement que possible. 



MÉCANIQUE CÉLESTE. — Démonstfation élémentaire des lois de Newton. 

 Mémoire de M. G. Lespiaplt, présenté par M. Delaunay. (Extrait par 

 l'auteur.) 



« Les diverses démonstrations géométriques à l'aide desquelles on par- 

 vient au principe de la gravitation luiiverselle, en partant des lois de Kepler, 

 se rapprochent en général plus ou moins de celle que Newton a donnée 

 lui-même dans le livre des Principes. Des démonstrations plus simples ont 

 été proposées, notamment par Ampère dans les Annales de Gergonne, par 

 Môbius dans le tome XXXI du Journal de Crelle, et par Schlàfli dans les 

 Mémoires de la Société des naturalistes de Berne. Mais les raisonnements de 

 ces géomètres reposent encore tantôt sur la considération de la force cen- 

 trifuge, tantôt sur la connaissance du rayon de courbure de l'ellipse, ou 

 tout au moins de l'angle de contingence. J'ai essayé, dans cette Note, 

 d'arriver aux lois de Newton, en ne m'appuyant que sur les propriétés les 

 plus élémentaires de l'ellipse, et en n'empruntant à la Mécanique qu'une 

 seule notion, la définition de l'accélération dans le mouvement d'un point 

 matériel. La méthode que j'ai suivie conduit en même temps, d'une façon 

 simple et naturelle, aux formules principales du mouvement elliptique. 



» Considérons l'ellipse décrite, conformément à la loi des aires, par la 

 planète M autour du Soleil S supposé fixe. Appelons r le rayon SM, Q l'angle 

 polaire MSA, dQ l'angle MSM' décrit par la planète diuis le temps dt. Soient 

 encore v la vitesse au temps i, zs la perpendiculaire SP abaissée dn foyer 

 sur la tangente en M à l'ellipse, perpendiculaire dont le pied tombe, 

 comme on sait, sur la circonférence décrite sur le grand axe comme 

 diamètre. 



» Si l'on désigne par -c l'aire décrite parle rayon vecteur de la planète 



dans l'unité de temps, et que l'on égale les deux expressions de l'aire infi- 

 niment petite décrite dans le temps dt., on a 



r-dQ = C7f/i' = cdf. 



On lire de là 



(7.S- c 



fit u 



c'est-à-dire que la vitesse est, en chaque point de l'ellipse, en raison inverse 



