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 pour avoir 



(4o) ^a':^[c'^- e~~^jX = ¥(a:]-Y. 



» Multiplions les deux membres par .rX <Yx et intégrons de o à R, ce 

 qui revient à ce qu'a fait Fourier dans la question des températures d'un 

 cylindre. Si m' leprésente une racine de l'équation (Sg) différente de celle 

 qu'on appelle m, si X' désigne ce qu'est X avec m' au lieu de /», et si nous 

 démontrons que 



J^R /«R 



xXX' dx = o, 1 xXdx = o, 

 n t ^o 



le résidlal tic cette opération aura été de réduire le\ à lui seid leiine et de 

 donner 



(42) A^U"^- e"'"«"j I a•X^-/.rz= / 'xXf{x)rlx; 



"■ i/o >- o 



d'où l'on tirera A. 



)> Pour prouver (/Ji) au moyen du procédé élégant de MM. Sinrrn et 

 Liouville. écrivons les fleux écpiations (36) 



rf'X I r/X m- „ d-Ji' I </X' m',, 



-7- ^ r^-^^ = "' Trr -^ ^ + ït- ^ = " ' 



rt.i- .r tl.r R.- rf.r' .); rt.r R- 



ajoulons-les et intégrons de o à R après avoir multiplié la première par 

 — xX.' fix et la seconde par xXr/.r. Comme ou a 



— / .rX -— - = — xX -1- + I -r-X 'fjo -\- x -, — dx, 



! IX- dx I dx / dx d.r 



r ^d^-x! „ dX' r^/x' . r dx' dx . 



i .x-X — ; — = :r X — I — - Xdx — | x —■ — dx, 



! dx' d.r J de J dx dx 



nous obtenons 



m 



rX'^) +(-X'^) +{-X^') -ixX'^ 



dx / a- = R \ dx I x = n \ dx j X = lî \ dx j .,■ ^_ o 



) =^^jy^ 



dj 



Tous les fermes du premier membre sont nuls si m, m' sont des racines 



de (37) ( -T7) = o. Donc, comme nr — m'- n'est pas nui, on a bien la 



première relation (4i); et la seconde s'en déduit en la particularisant 

 pour m' = o, l'une des racines de (39 , puisqu'on a 



(44) P""*" m ^= o, X = 7:. 



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