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pas nouvelle; elle avait déjà été employée auparavant dans la théorie des 

 solides élastiques, entre antres par M. Kirchhoff (i), dans son Mémoire sur 

 les plaques élastiques vibrantes. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les siiujiilarilés ordinaires des courbes (jéomélriques à double 

 courbure. Note de M. H. -G. Zeuthen, présentée par M. Chasies. 



« Il s'agit des singularités que peuvent présenter les courbes à double 

 courbure, considérées comme lieux de séries de points ou comme arêtes de 

 rebroussement de surfaces développables, enveloppes de séries de plans. 

 D'après M. Cayley (a), une telle courbe est caractérisée au moyen des 

 nombres suivants : 



» i** Son ordre m ou le nombre de ses points de rencontre avec un plan ; 



M 2° La classe Ji de la développable dont elle est arête de rebroussement, 

 ou le nombre des plans osculateurs qu'on peut mener à la courbe par un 

 point quelconque; 



» 3" Le rang r de la courbe, c'est-à-dire le nombre des tangentes à la 

 courbe que rencontre une droite quelconque; 



» l^° Le nombre a des plans stationnaires, c'est-à-dire des plans qui con- 

 tiennent quatre points consécutifs de la courbe; et, 5° le nombre /3 des points 

 stationnaires, c'est-à-dire des points par lesquels passent quatre plans oscu- 

 lateurs consécutifs; 



» 6° L'ordre .r de la courbe lieu des points d'intersection de tangentes 

 non-consécutives de la courbe; et, 7° la classe j de la surface développable, 

 enveloppe des plans tangents doubles de la surface. 



)) 8" Le nombre g des droites d'un plan quelconque par lesquelles pas- 

 sent deux plans osculateurs de la courbe'; et, 9° le nombre h des droites 

 passant par un point cjnelconque qui rencontrent deux fois la courbe. 



» Entre ces neuf nombres, M. Cayley a établi six équations indépen- 

 dantes l'une de l'autre, qu'il déduit des équations Pliichériennes relatives 

 aux courbes planes, et qu'on peut écrire de la manière suivante : 



n = r{r — i) — 23c — '5tn, m = /■(/■ — i) — ^J— 3«, 

 r= n{n —1) — 2g — 3c(, r = ni{iji — i) — 2A — HjS, 

 m — x= '5{r — ?i), n — ^ — '5[r — m). 



(1) Juurnal de Crellc, t. XL; i85o. 



(2) l_,\oviVii.i.^, Journal lie Mathématiques, t. X, p. 245. 



C. 1'.., i8(J8, 1' Semesiic. (T. LWll, N° 4.) JO 



