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» Trois des neuf nombres étant donnés, les six autres se peuvent déter- 

 miner au moyen de ces six équations (i). 



» Aux singularités ordinaires des courbes appartiennent leurs points et 

 plans stationnaires, etc.; mais il y en a beaucoup d'autres; nous en avons 

 déjà nommé les plans tangents triples, dont M. Salmon a déterminé le 

 nombre. MM. Salmon (2) etCayley (3) en ont nommé d'autres dont ils ont 

 aussi déterminé le nombre. 



» En y ajoutant d'autres, je nommerai aussi les résultats trouvés par ces 

 savants; mais j)our faire distinguer ceux ci, je citerai le nom du premier 

 auteur et aussi où ma déduction a été indépendante de la sienne : 



» Le nombre P(3C) des plans tangents triples de la courbe est 



P(3C) = ^[(;- - m— 3//)(r— 2) -+- 8in -h loa]. (Salmon.) 



)> Le nombre P(C, C") des plans qui ont un contact de premier ordre et 

 un contact du second ordre avec la courbe, a l'expression 



P(CC') = Ji[r — 1) — im — l\c/.. (Salmon.) 



» L'ordre R de la surface développable, enveloppe des plans tangents 

 doubles de la courbe, a l'expresion 



R = r{m — 3) — 3,'5. (Salmon.) 



» Le nombre des droites qui rencontrent deux droites fixes et par cha- 

 cune desquelles passent deux plans tangents doubles de la courbe est 



^ [27(j-i) -6P(3C) - 3P(CCM - R]. 



Si les deux droites fixes se rencontrent, une droite qui les rencontre toutes 

 deux passe par leur point d'intersection, ou est renfermée dans leur plan. 



On aura donc, en soustrayant du nombre trouvé le nombre — des 



droites passant par un point et satisfaisant à la même condition par rapport 

 à la courbe, l'expression du nombre G des droites d'un plan quelconque 



(i) Les trois nombres donnés ne doivent pas être /, a et / ou /■, p et ./-, car on peut tirer 

 des équations de M. Cayley les suivantes 



/• (r — ^) z= a + Q.J ^= § -\- IX. 



(1) Geometry of ihree. dimensions. 



(3)0/2 Shcw surfaces, othcraize scrolls [Pliilosophical Transactions, vol. CLIII, p. 453) 



