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 sept autres lettres données par la formule 



(x, + >. a, + ).'«', + )."a", , ,r , + ),/3, + X'/3; + /."/5", ,. • -, JV + Xf^,- -4- ÀTi',. + :^'T<' )• 



),. /.', À" étant des entiers. Il est clair en effet que toutes ces lettres appar- 

 tiennent aux trois systèmes considérés. Elles sont même communes plus 

 généralement aux sept systèmes de la forme 



[ iJ. y. , + a'a, 4- p."< , a {i , + p.',3', -h u:fi,\ ,..., (j. fi, + ;j.'/B', -h [J-'f", \ , 



et forment dans chacun d'eux quatre couples. 



» Soient de même (,r,, j, ,. .., j,) et {(y."[-\-JC,, /5™ +;,,..., f:i",' -h j;-) 

 doux lettres conununes aux trois systèmes [a,, /S,,..., fi,], [c(\,fj\,.. ,,'5',.], 

 [«"j , /5", ,.. ., fj'l], mais appartenant à des octaves différents. Le système 

 [a™, |3™,..., /;'"] aura i6PJ'._j lettres communes avec les précédents. Ces 

 lettres peuvent être réparties en P'_, faisceaux de seize lettres, et sont 

 comnuuies aux quinze systèmes de la forme 



» Poursuivant ainsi, on voit que p étant un entier quelconque inférieur 

 à r, on pourra déterminer 2? — i systèmes ayant en commun Pil_,^ fais- 

 ceaux de af lettres. Si v = o, cette propriété subsistera même pour p = r, 

 pourvu qu'on convienne de remplacer par l'unité le facteur P^_„, qui n'a 

 plus de sens par lui-même. 



» Cela posé, soient a, h; a\ h'; a", b". . . les couples de lettres contenus 

 dans l'un quelconque des 2"'' — i systèmes considérés; formons la fonclion 

 ab + a'b' -\- a"b" ..., puis effectuons le produit n de toutes les fonctions 

 analogues correspondantes aux divers systèmes; enfin déterminons le 

 groupe des substitutions qui laissent la fonclion ti invariable. Le groupe G 

 ainsi trouvé sera l'un de ceux que nous cherchons. On obtiendra les divers 

 groupes d'une même série en faisant varier l'indice /', et l'on passera d'une 

 série à l'autre en posant sucessivement v = o ou v = i . 



» Le groupe G contient la substitution [ab)[a'b')[a"b")... et ses ana- 

 logues, et ne contient d'autres substitutions que celles qui dérivent de 

 celles-là. 11 est deux fois transitif, et son ordre est égal : 



à p;(p;. -i)(p;._,-i)...(Pi-i).24.2^"-'' si v = i, 

 à p;'(P,''- i)(P°_, -«)•••( P=-0(PÏ-i)-2^''"" si V = 0. 



» Si l'on pose 



v = i, r = 3, d'où P" = 28, 



