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 de j:, y, z,. . . dans le voisinage de la soltition [x ^ a. j= ^j, r = -y, . . .); 

 soit de plus Y{x^ y\ z, . . .) on F une fonlion syiiecliqne d;ins le voisinage 

 des mêmes valeurs de oc, y, z,. . ., je dis que l'on aura 



— 1'^''^" " désignant, conformément à l'usage, le jacobien des fonctions 



ç), )^, 4'> • • • ; dans la formule (9.) les intégrales doivent être prises le long 

 de contours fermés décrits autour des points .r = a, j' = ^, z :=•/,.. . et 

 ne contenant que ces seules solutions. 



)) Pour démontrer cette formule, effectuons un changement de variables 

 et ])renons pour variables indépendantes les fonctions y, y, (j*, ■ • • ; Pn 

 d'autres termes, posons 



(3) y (x,j-, ...) = «, /(■3",,v,... ) = <'»•••• 



D'après la remarque que nous avons faite en commençant, x, y, s, . . . se- 

 ront des fonctions synectiques de u, v, i\>,..., pourvu que l'on ne donne 

 pas à u, i', w,... des valeurs qui fassent acquérir aux équations (3) des so- 

 lutions multiples, c'est-à-dire pourvu que le jacobien de 9,/, di, ... ne 

 s'annule pas. On sera assuré que cette circonstance ne se présentera pas : 

 1° si les équations (i) n'ont pas pour solution multiple x ■=^ a, jr-= ^, . . .; 

 a° si u, i', . . . sont assez voisins de zéro, c'est-à-dire si les contours d'in- 

 tégration primitifs sont assez rapprochés de a, j3, y, . . . . 



M Après le changement de variables, le second membre de la formule (2) 

 deviendra 



les nouveaux contours d'intégration étant décrits autour de loiigine. ],a 

 forme de ces contours est du reste arbitraire, ils sont simplement assujettis 

 à être petits; on peut les prendre circulaires et poser 



l'intégrale cherchée devient alors 



(s/^7)" f r"...Y{x,y,z....)de,dQ._,...- 



et connue /•,,/•.,,... sont arbitraires, on peut les prendre égaux à zéro; 

 mais alors l'{x, j, z, . . .) devient F(a, p, 7, . . .), et l'expression précé- 



