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 MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de systèmes triples de surfaces 

 orthogonales. Note de M. P. Morix, piésentée par M. Serret. (Extrait par 

 l'auteur.) 



(Commissaires: MM. Chasles, Serret, Bonnet.) 



Cl Le travail que j'ai l'honneur de soumettre à l'Académie a pour objet 

 la détermination des systèmes orthogonaux dont toutes les surfaces se dé- 

 coupent les unes les autres en éléments carrés infiniment petits. On con- 

 naît déjà de ce problème une solution qui a même été présentée comme h» 

 plus générale possible. Elle consiste en un certain système du quatrième 

 degré qui jouit de la propriété de se transformer en soi-même par rayons 

 vecteurs réciproques, et dont toutes les surfaces sont comprises, ainsi qu'il 

 arrive pour les surfaces homofocales du second degré, dans une seule et 

 même équation. 



» ^ priori, il paraît singulier qu'une question aussi étendue admette 

 lUie réponse aussi simple; car bien que les invariants difféienticis des pa- 

 ramètres des trois familles n'aient encore ici que des formes particulières 

 et que, par conséquent, les calculs ne soient qu'iui acheminement lointain 

 vers l'intégration générale des équations différentielles des systèmes ortho- 

 gonaux, ces formes offrent cependant déjà assez de généralité pour qu'il 

 soit difficile de s'expliquer une solution aussi limitée, autrement que par 

 une extrême rareté des systèmes orthogonaux (jui deviendraient, pour ainsi 

 dire, une sorte d'exception géométrique. 



» Cette considération, toutefois, perdrait toute espèce de force si les rai- 

 sonnements sur lesquels était fondé le résultat n'eussent laissé prise à 

 aucune objection. Comme je ne m'en trouvais pas entièrement satisfait, je 

 m'étais proposé de reprendre le problème, quand le hasard est venu ilouiier 

 raison à mes doutes en me faisant trouver, connue solutions générales 

 d'autres questions, deux systèmes orthogonaux répondant aux conilitions 

 du problème actuel et qui renfermaient comme cas parlicidier celui qui 

 était connu déjà. 



» Les .systèmes qui composent la solution générale, forment deux classes 

 distinctes. Pour la première, les coordonnées rectangles sont exprimées par 

 trois fractions ayant un même dénominateur. Les termes de ces fractions 

 sont des sommes de cinq radicaux au moins, et de quatre au plus. Ces ra- 



