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dicanx, qni sont du second degré, portent sur des produits de trois fac- 

 teurs, dont chacun est l'un des paramétres des trois familles, augmenté d'une 

 constante qui change d'un radical à l'autre. Ces formules contiennent, dans 

 leur ensemble vingt-quatre constantes, entre lesquelles il existe neuf équa- 

 tions de condition. 



» Les formides relatives aux systèmes généraux du second genre sont 

 composées de la même manière, à cette différence près que chaque numé- 

 rateur renferme, ainsi que le dénominateur commun, un terme constant. 

 Le nombre des radicaux ne peut alors être supérieur à quatre, ni inférieur 

 à trois. 



M L'élimination de deux des paramètres entre ces expressions des coor- 

 données rectangles montre que les systèmes de ces deux genres sont habi- 

 tuellement du huitième degré et présentent la propriété d'être représentés 

 chacun par une seule et même équation. 



» En outre, il résulte des calculs employés que les expressions des 

 coordonnées peuvent se trouver libres de tout dénominateur : c'est le cas 

 où le système est entièrement composé de familles isothermes, et l'on re- 

 trouve ainsi le beau théorème de M. Lamé : « Le seul système à la fois iso- 

 » llieime et orthogonal est celui des surfaces homofocales du second degré. » 



» Enfin l'examen particulier des diverses hypothèses qui font tomber en 

 défaut la méthode suivie dans le cas général conduit à diverses solutions 

 singulières. Ce sont : 



» Tous les systèmes cyHndriques à génératrices parallèles dont les. bases 

 sont des courbes planes isothermes et orthogonales, joints aux plans de 

 leurs sections droites; 



» Celui des trois familles de plans parallèles aux trois plans coordonnés; 



)) Le transformé réciproque du précédent, qui est composé de trois familles 

 de sphères passant en un même point et dont les centres sont disposés sur 

 trois droites orthogonales issues de ce point; 



» Un système de révolution ayant pour méridiens des courbes planes et 

 orthogonales d'une nature particulière; 



» D'autres systèmes dont une famille est composée de surfaces parallèles 

 et les deux autres des surfaces développables formées par les normales à 

 celles-ci suivant leurs lignes de courbure. 



» Il est bon toutefois de faire observer qu'il serait possible que certaines 

 de ces solutions rentrassent dans les formules générales. C'est même ce qui 

 a lieu pour le système sphérique qui fait réellement partie du cas où les 

 formules générales du premier genre ne contiennent que quatre radicaux. 



G. R., 1868, 1' Semestre. (T. LXVII.N» IG.) Io5 



