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» Quoiqu'il soit difticile d'indiquer ici la marche des calculs dont dé- 

 pend la question, j'essayerai d'en faire ressortir quelques points, soit parce 

 que c'est à eux que la réussite nie |)araît principalement due, soit parce 

 qu'ils me semblent offrir des détails instructifs. Les équations pour la déter- 

 mination des trois invariants différentiels du premier oidre sont au nondjre 

 de six, qui se divisent en deux groupes. Le premier avait été déjà fort bien 

 traité, et rien ne restait à désirer sur cette partie du sujet. Le second groupe 

 doit servir ensuite à restreindre la trop grande généralité de ces premières 

 intégrales. Or il ariive qu'en combinant convenablement les trois équa- 

 tions dont il est formé, on parvient à remplacer l'une d'elles par une 

 équation linéaire, qui renferme une constante en apparence tout à fait 

 arbitraire. Sans la présence de cette forme linéaire, la substitution des 

 intégrales primitives conduirait à des calculs d'une complication presque 

 inextricable. Grâce à elle, au contraire, les expressions obtenues sont assez 

 simples pour qu'il soit possible de les soumettre à une discussion dont le 

 résultat est de déterminer la constante et de particulariser les fonctions 

 arbitraires. Les autres équations subissent alors de très-notables simplifica- 

 tions, et les ressources les plus ordinaires du calcul algébrique suffisent 

 pour trouver les conditions de leur identité. 



» On a ensuite à former les valeurs des coordonnées d'un point quel- 

 conque du système au moyen de six nouvelles équations du second ordre 

 dont les coefficients dépendent des fu:. ..lions que les calculs précédents ont 

 déterminées. Or une circonstance, sans aucun doute très-remarquable, 

 consiste en ce que cette recherche dépend de quatre équations exactement 

 de même forme que celles qui ont fait connaître les invariants différentiels, 

 tandis que les deux dernières ne font que se compliquer de quelques termes 

 d'une médiocre importance au point de vue de l'intégration. Il sepoiu'rait 

 qu'il y eût là un indice utile pour le cas où l'on essayerait un joiu- la 

 recherche du système orthogonal le plus général possible. 



» On peut être surpris que la solution générale, au lieu d'être renfermée 

 dans un seul système de formules, eu exige deux distincts auxquels cor- 

 respondent deux genres de surfaces orthogonales. Cette circonstance tient 

 à ce que l'intégrale générale de l'équation linéaire, dont il a été fait mention 

 ci-dessus, change de nature quand on substitue dans cette équation la va- 

 leur particulière de la constante à laquelle conduit la discussion dont cette 

 équation est l'objet. En effet, tant que cette constante reste indéterminée, 

 l'équation contient un terme proportionnel à la fonction qu'elle doit faire 

 connaître. Cette fonction, qui peut être composée d'un nombre illimité 



