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 en noinm.iiil o une liicine priuiilive de l'équatioi! i — a" = o, el t:iis;uit I: 

 ioiiiine iillcriiéc 



A=S/-I,'A 



on a 



A-= ± ti, 



ainsi qu'on peut le voir aux endroits indiqués; et enfin des raisonnements 

 tout à lait analogues à ceux de Gauss prouvent qu'il existe âeu\ polynômes 

 entiers Y et Z à coefficients entiers qui donneront 



2 n (.r — r/') = Y + ZA, 2 11 {a: — f/) = Y — Z A, 



n étant un signe de multiplication étendu à tontes les valetu's do h ou de A, 

 d'où 



savoir 



4X = Y-i+:;/Z=, 



X désignant le facteur irréductible de l'écjualion binôme. 



« Dans l'écrit que j'ai rappelé, j'ai donné aussi la distinction du double 

 signe qui affecte le dernier teiiiie de l'expi'ession de /jX, et cette distinction 

 est nue conséquence de celle que Caucliy a établie pour la valeur de A'- : 

 c'est-à-dire qu'on jirendra le signe — lorsque n sera de la forme /\m-\- i 

 ou de la forme 4'» {>/i +3), le signe -+- lorsque n sera de la forme 4'" + 3 

 on de la forme 4 (4'"+ 0; ^* qu'on pourra prendre aussi bien le signe -+- 

 que le signe — lorsque // sera de la forme 8(2//i + i). 



» Les arguments de M. ïrudi se résument en ceci : qu'il trouve pour la 

 même fonction 4X une expression quadraticpie différente et cpie son résultat 

 est confirmé j)ar des exemples numériques. jMais il ne démontre pas que 

 ce ré.sultat soit incompatible avec celui de Caucliy. An surplus, on peut 

 aussi confirmer ce théorème par des exemples numériques, et en prenant 

 les valeurs « ^ 28 et « ^ 56 qu'a choisies M, Trudi pour démontrer la faus- 

 S(;té du lliéorème, on trouve les égalités suivantes qui le justifient : 



4 (.t ' ■■ — .r'" 4- .1* — x° + a'' — a:- -\- 1 J 



= , 2a,-''+ 6.v'' -h 6x^ + 2)- — 28 (,r' -f- .r + i)'% 



4 (.r-* — .r-" + .Z''" — .r ' - -f- x* ^ .r '' + 1 ) 



= {-ix'- -+- 14^''" + 6.r*— 14*'" + 6,r' -+- ilia- -+- -1)'' 



— 5G{.r" -t- aa'-* — x' — x'' -f- •2Jc'' -hx)- 

 = (2x'-— i4.r'" + 6,r'— \/ix'' -hdx''— il\x'^ ■+- 3)- 

 -+- 56 (x" — 2a" — a'^ + .r'-f- ■ix^ — xf. 



