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 et (a), et tous deux conduisent à rintégratioii de l'équalion 



(3) V=o. 



» De même que la sinlacc particulière 11 nous fournissait une intégrale 

 particulière du premier ordre de cette équation, nous voyons que l'en- 

 semble des surfaces du secciul ordi e, passant par les coniques C et T, nous 

 donnera rinlégrale générale du premier ordre. 



» Géométriquement, le résultat obtenu peut èlre énoncé ainsi : étant 

 donnés la courbe C dans le plan X et le point arbitrairement choisi qui, 

 dans le plan A, correspond à un point donné de cette courbe; par ces 

 deux pi)ints faisons passer une droite et construisons une surface du secoml 

 degré passant par les coniques G et F et tangente à cette droite. Imaginons 

 une surface dévelo})pable qui ait son arèle de rebroussement sur la surface 

 du second ordre et cpii coupe le plan .1, suivant C, son intersection avec 

 le plan A sera une courbe dont l'équalion en x et en j- sera une solution 

 de l'équation (3). 



» Il existe un cas particulier encore assez étendu où l'on peut obtenir 

 en termes finis l'intégrale générale de cette équation. C'est celui où la 

 courbe C est une conique. 



» Dans ce cas, en effet, on peut toujours, en désignant par u, i», w de 

 nouvelles variables, liées aux variables x,j', z par des relations île la foime 



(4) n = ^, i'=I, tv = ^, 



où X, Y, Z, U désignent des fonctif.'ns linéaires de jl', j, z, déterminer ces 

 polynômes de sorte qu'après la substitution des nouvelles variables dans 

 l'équation (^[x, 7-,z) = o, la surface représentée par l'équation transfor- 

 mée soit, en considérant n, c, (v comme des coordonnées l'ectangidaires, 

 rapportée à ses axes et ail la forme sinvante : 



et qu'en même temps la conique C ait pour transformée la conique, située à 

 l'infini, commune à toutes les sphères de l'espace. 



» Cela posé, si nous considérons les combes gauches qui sur la surface 

 primitive S' étaient les arêtes de rebroussement des surfaces dé\eloppables 

 coupant le plan -\^ suivant C, nous voyons que ces courbes auront pour 

 transformées, sur la surface représentée par l'équation (5), les lignes dont 

 l'équation différentielle est ds = o. 



» Déterminons les points de cette suiface au moyen des coordonnées 



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