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 théorèmes tout à fait analogues. Je suis parvenu à démontrer le théorème 

 suivant : 



« Soient données deux surfaces y^= o et (p = o des ordres m et n respec- 

 >> tivement. Supposons que l'on puisse faire correspondre à chaque point 

 » àe f=:^ o un seul point de (p = o et réciproqueinent, de sorte que ces sur- 

 » faces soient transformables l'ime dans l'autre d'une manière algébrique 

 » et rationnelle. Supposons, pour plus de simplicité, que ces surfaces 

 » n'aient que des singularités régulières, c'est-à-dire des singularités qui 

 » se trouvent sur chaque surface ou sur sa réciproque. Alors soit p le noni- 

 » bre de coefficients arbitraires d'une surf ice de l'ordre n — 4 passant par 

 » les courbes doubles ou de rebroussement qui se trouvent sury = o, el p' 

 )) le nombre correspondant eu égard à y = o. On aura toujours p' = p. » 



)) Ce tliéorème nous permet de classifier ces surfaces eu égard à leur 

 genre p. Deux surfaces devront appartenir au même genre pour être trans- 

 formées l'une en l'autre d'une manière rationnelle. Lorsqu'une surface 

 donnée n'a aucune combe double ou de rebroussement, son genre sera 



égal a -^ ~ ■> tous les coeihcients de la surtace de 1 ordre 



° 1.2.5 



« = 4 étant arbitraires. Au contraire, lorsqu'il n'y a aucune surface de 

 l'ordre n — 4> qi^ii prisse par les courbes doubles et de rebroussement de la 

 surface donnée de l'ordre «, cette surface appartiendra au genre p = o. A 

 ce genre appartiennent toutes les surfaces qui peuvent être transformées 

 dans un plan; ce qui se fait pour la plupart des surfaces cpie l'on a consi- 

 dérées actuellement, et dont M. Cliasles, M. Cremona et moi-même avons 

 offert des exemples assez nombreux. 



» Lorsque lasurface réciproque d'une donnée appartient au même genre, 

 ou a le théorème spécial : 



(( Étant donnée une surlace de l'oidre n et de la classe A-, le nombre de 

 » coefficients indéterminés d'une surface de l'ordre n — 4 passant par les 

 » courbes doubles ou de rebroussement de la surface donnée, est égal au 

 » nombre de coefficients indéterminés d'une surface de la classe k — 4? 

 1) qui a pour plans tangents tous les plans tangents doubles de la surfîice 

 I) domiée. » 



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