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)) Il suffit, pour cela, d'admettre la première proposition qui s'est tou- 

 jours trouvée vérifiée dans la multitude des cas qui ont été examinés pur 

 M. Chasles, et par un petit nombre d'autres géomètres. 



» Je me suis proposé de déterminer analytiquement l'équation des sys- 

 tèmes dont les caractéristiques sont p. et v. La méthode que j'ai suivie m'a 

 conduit, sans grande difficulté, à la détermination des systèmes dont les 

 caractéristiques sont données. Il eu résulte immédiatement le théorème de 

 M. Chasles : « Le nombre des coniques infiniment aplaties d'un système, est 

 » ijx — v; le nombre des coniques se réduisant à 2 droites est av — u.. » 



» [^'équation des coniques est du degré |u. par rapport à l'arbitraire A', 

 et celle de leur» polaires réciproques du degré v. 



» Si l'on cherche à déterminer toutes les coniques du système satisfaisant 

 à une condition donnée, on trouve généralement une relation homogène du 

 degré m entre les coefficients. Les coefficients étant eux-mêmes du degré [x 

 par rapport à k, il en résulte que l'on a, pour déterminer l'arbitraire A, une 

 relation du degré m[j.. Mais il se présente ici un fait remarquable. L'équa- 

 tion contient géuéialement un facteur du degré 



a'jjL + /S'v, 



qui, égalé à zéro, donnerait pour solution les coniques singulières du sys- 

 tème. 



» Si l'on supprime ce facteur, le degré de l'équation qui reste est 



{m- a')p. -/3'v. 



Il est donc de la forme annoncée par M. Chasles. 



» J'ai aussi traité les mêmes questions pour les surfaces du second degré. 

 Il est encore facile de former les équations îles différents systètnes. Si l'on 

 désigne par p. le nombre des surfaces passant par un point, par v le nombre 

 de celles qui touchent une droite, par p le nombre de celles qui touchent 

 tin plan, on trouve sans difficulté que 1 fj. — v est le nombre des sinfaces 

 infiniment aplaties, av — |x le nombre des cônes, et enfin 2v — /j. — p le 

 nombre des surfaces se réduisant à deux plans dont la ligne d'intersection 

 se termine à deux points. » 



GÉOMÉTRIE. — Siu- une propi iélé des surfaces enveloppes de sphères. 

 Note de M. A. Ribaicouk, présentée par M. Bonnet. 



" Dans luie des dernières séances de l'Académie, M. Darboux a présenté 

 luie Note relative aux surfaces orthogonales, par laquelle il montre qu'étant 



