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moïitré que, dans un réseau quelconque d'ordre ;j, il y r ii{n — ') (" — ^) 

 courbes, douées chacune d'un point de rebroussemeut (i). 



» Il restait à tr;nter laulre poulie du probleuie, c'est-à-dire à déterminer 

 le nombre des couibes du réseau dont chacune a deux points doubles. 

 C'est la question que je nie suis proposé de résoudre, et j'ai trouvé, pour 

 le nombre dont il s agit, l'expression 



N=^(«-i)[3(;r^)'-i/i(« -i)+ii]. 



de laquelle on déduit^ en particulier, celle que Steiiier avait trouvée pour le 

 cas spécial traité dans son Mémoire de i85a. 



» La méthode qui m'a conduit à ce résultat s'appliquerait d'elle-même 

 à la détermination du nombre des surfaces d'ordre quekonque,qui touchent 

 par un double contact une autre surface donnée. Mais elle exige qu'on 

 connaisse préalablement le nombre <le celles qui ont, avec cette surface 

 fixe, un contact du second orilre, ce qui n'a j)as encore été fait. 



» J'ajouterai, en terminant, que si le réseau n'est plus 5Û(*/>/e, c'est-à-dire 

 si les courbes ou les surfaces qui le composent sont telles qu'il en |)asse p., 

 au lieu d'une seule, par deux ])oints quelconques, le nombre exprimé 

 ci-dessus par N devient [jlN. Eu d'autres termes, dans ce réseau complexe 

 d'espèce p., il existe y.N courbes ou surfaces, dont chacune possède les 

 deux points doubles ou le double contact dont il s'agit; et ces fxN courbes 

 ou surfaces sont des courbes ou des surfaces proprement dites et distinctes, 

 c'est-à-dire non décomposées en courbes ou eu surfaces de degrés inférieurs 

 avec des branches ou des nappes multiples, toutes les fois que le nombre 

 des points par lesquels passent toutes les courbes ou surfaces du réseau (les 

 autres conditions commuties auxquelles elles sont assujetties étant d'ail- 

 leui s de toucher des droites, des courbes, des plans ou des surfaces) n'est 

 pas en dessous des limites précises que j'ai déterminées et fait connaître 

 dans un Mémoire publié en 1866 (2) sous le titre : Reclierclies sur les séries 

 lie courbes et de surfaces algébriques. » 



(i) Je ne veux ])as onietlre de mentionner un article U'ès-intéressant que M. Zeuthen a 

 publié récemment, dans les Nouvelles Annales de MathématKjues, t. VII, p. 385, sur la dé- 

 termination des caractéristiques des surfaces du serond ordre. La théorie de cet habile géo- 

 mètre, par cela même qu'elle repose sur des considéiatioiis exclusivement propres aux sur- 

 faces du second ordre, n'ouvre d'ailleurs aucun jour sur les propriéli's des reseaux de surfaces 

 d'ordre quelcon(pie qui nous occupent ici- 



(2) Chez M. Gauthier-Villars, Pai-is. 



