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 On pourra en général disposer des coefficients A, B,,.., L de manière à 

 annuler dans les n produits çp,(x)$(x), les termes en 



fx, étant un nombre entier arbitraire. Nous poserons ainsi un nombre d'é- 

 quations homogènes de premier degré égal précisément à p.,-, et l'on aura 



£,, £2,... étant des constantes, <I>,(^) un polynôme entier de degré M — /ji,. 

 Or cette relation donnant 



?'(-^") = M'^) -^ ^^T^ô ' 



on voit que les développements en série de la fraction rationnelle et de 

 la fonction seront en effet les mêmes jusqu'aux termes en :r", et, comme 

 le nombre total des conditions posées est fx, -H ju., -1- ... -1- p.„, il suffit 

 d'assujettir à la seule condition 



;j., + f».., + ... + fJ.,, = 



m. 



les entiers p., restés jusqu'ici absolument arbitraires. C'est cette considéra- 

 tion si simple qui a servi de point de départ à l'étude de la fonction expo- 

 nentielle que je vais exposer, me proposant d'en taire l'application au.K 

 quantités (p,{x) =6""^, Çaf-^^) = ^'"' ■,■■■■> ^n[x)= e*-^. 



» II. Soit pour abréger M — ui = p.; je compose avec les constantes 

 rt, b ,...^ h, le polynôme 



de degré p. + [J., -+- ... 4- p.„ = M, et j'envisage les n intégrales définies 



i/o ^ «'O 



qu'il est facile d'obtenir sous forme explicite. Faisant, en effet, 



F(;) F'(zl F(»')(3) 



nous aurons 



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