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se tirent sur-le-champ du développement par la formule du binôme 



^ ' I I - ■>. ^ ' 



et l'on obtient 



F(""-')(o) _ m{m — i}...(m — ^--hi) , 



t, 3. . .21/1 — k 1.2.3.../- ^ 



d'où, par suite, 



— 2fn\^2m — i)... [m. + ij — [im — i)[i III — 2 >...(*« 4- 1) a: 



I . 2 . O ■ . . /« ^ ' ^ ' ^ • ■ - ' I 



4-(2»i- 2)(>/«-3)...(w + i) "'^"'~'^ x°-... + (-iy".r'". 



» Pour avoir, en second lieu, les valeurs des dérivées quand on suppose 

 z = i, nous poserons : = i-i-/;, afin de développer suivant les puissances 

 de h, le polynôme F (i + h) = h'^îli H- 1)'". Or les coefficients précédemment 

 obtenus se reproduisant, sauf le signe, on voit qu'on aura 



» Ces résultats conduisent à introduire, au lieu de ^{x) et <P|(j:^), les 



polynômes Ulx) = ■ — '-^ — , Il,(x) = — '^ , dont les coefficients 



1 . 2 . 3 . . . /?i ^ ' 1 . 2 . 3 . . . «j 



sont des nombres entiers; on aura ainsi 



e-^ n (x) — n , (a- ) = -^-—^ d" \ c-^-^ 2'" (z — I )'" dz 



-^ — /' ' e-^"-^' z'" ( I - z)'" i/x, 

 2.5...mJ^ ^ ' ' 



— [- I 



et l'on met en évidence que le premier membre peut devenir, pour une 

 valeur suffisamment grande de m, plus petit que toute quantité donnée. 



Nous savons effectivement que le facteur — — a zéro pour limite, et 



il en est de même de l'inlégrale; or la quantité z"'(i — - z) étant toujours in- 

 férieure à son maximum ( - j qui décroît indéfiniment quand m augmente. 

 Il résulte de là qu'en supposant x un nombre entier, l'exponentielle e"^ ne 

 peut avoir une valeur commensurable; car si l'on fait x = -, on parvient, 

 après avoir chassé le dénominateur, à l'égalité 



bn {X) - au, {X) = (- .)'" 7:11^, £ ' e-'"-» z'" (. - z)'" dz, 



