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dont le second membre peut devenir moindre (|tie toute grandeur donnée, 

 et sans jamais s'évanouir, tandis que le premier est un nombre entier. 

 Lambert, à qui l'on doit cette proposition, ainsi que la seule démonstra- 

 tion jusqu'à ce jour obtenue de l'irratiounaiilé du rapport de la circonférence 

 au diamètre et de son carré, a tiré ces importants résultats de la fraction 

 continue 



à laquelle nous parviendrons plus tard. Laissant entièrement de côté le rap- 

 port de la circouléreuce au diamètre, je vais maintenant tenter d'aller plus 

 loin A l'égard du nombre e, en établissant l'impossibilité d'une relation 



de la forme 



N + e^N, + e'No +. . .+ e''N„= o, 



a, b,.... Il étant des nombres entiers, ainsi que les coefficients N, N,, N„. 



•> IV. Je considère à cet effet, parmi les divers systèmes de fractions ra- 

 tionnelles — --^> — 7— -V7 — - — -■■> celui qu on obtient lorsqu on suppose 

 |jL = a, =...=: fj.„, ce qui donne 



m 



nii, n ={n + \)ij. et F ( z) =f^ ( 2), 



en faisant y (3) =: z (z — rt) (z — Z»), .., (z — /(). Soit alors, comme tout 

 il l'beiu'e, 



^ ' 1.^.3.../. ^ ' I . a . 3 . . . u. ^ ' 1 . 2 . 3 ... p. 



ces nouveaux polynômes aiu'ont encore, pour leurs coefficients, des 

 nombres entiers, et conduiront aux relations suivantes : 



(A) ) e*-MI(x)-n,(x) = s„ 



en écrivant, pour abréger. 



••2 3.. fzj„ ' J^ 1.2.3. ..p 



