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 et par conséquent, si l'on néglige -î —,•••■, 



d'où 



e{[x -+- i) — 0{[j.) = i{n + r) log(« + i) p., 



!'("+<) 



En ne conservant donc dans le déterminant que le terme en /x de l'ordre 

 le plus élevé, il se réduit simplement à cette expression 



[{n -h i) li]"^"^' 



I 

 P 



p2 

 p«- 



I 



Q 



I 



s 



Q«_. S«-. 



M II en résulte qu'on ne peut, en général, admettre que le déterminant 

 proposé A s'annule, car les quantités V=f[p), Q=^/{q)i- ..■, fonctions 

 entières semblables des racines p, q,.--, de l'équation dérivée y (:r) = o 

 seront comme ces racines différentes entre elles. C'est ce qu'il fallait éta- 

 blir pour démontrer l'impossibilité de toute relation de la forme 



N + e«N, + e*N2 -+-... 4- e*N„= o, 



et arriver ainsi à prouver que le nom'ire e ne peut être racine d'une équation 

 algébrique de degré quelconque à coefficients entiers. 



» Mais une autre voie conduira à une seconde démonstration plus rigou- 

 reuse; on peut en effet, comme on va le voir, étendre aux fractions ration- 

 nelles 





<S>(x) 





le mode de formation des réduites donné par la théorie des fractions conti- 

 nues, et par là mettre plus complètement en évidence le caractère arithmé- 

 tique d'une irrationnelle non algébrique. Dans cet ordre d'idées, M. Liou- 

 ville a déjà obtenu un théorème remarquable qui est l'objet de son travail 

 intitulé : Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur nest ni algé- 

 brique, ni même réductible à des irralionnelles algébriques (*), et je rappellerai 

 aussi que l'illustre géomètre a démontré le premier la proposition qui est 

 le sujet de ces recherches pour les cas de l'équation du second degré et de 



(*) Comptes rendus, t. XVIII, p. 883 et 910. 



