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GÉOMÉTRIE. — Sur les différentes formes de courbes du quatrième ordre. 

 Note de M. H.- G. Zeuthex, présentée par M. Chasles (i). 



« Si les côtés d'un triangle abc sont des tangentes doubles d'une quar- 

 tique (courbe du quatrième ordre), «, , «2 ; p, , /Sj ; 7, , 72 étant les points de 

 contact, on sait, suivant le théorème de Carnut, que 



bcii.by., c^i.cf,, ay,.ay., ^ 



1) Au cas du signe +, les points de contact se trouvent sur une même 



conique : — - — '- sera 5 o, suivant que ^ et c séparent (2) <x, et a, ou non. Par 



conséquent, si, dans le triangle formé de trois tangentes doubles d'une 

 quartique, aucun des couples de points de contact n'est séparé par les 

 sommets du triangle, ou si deux couples sont séparés, les six points de 

 contact se trouvent sur une même conique. 



B On démontre encore, sans difficulté, le théorème suivant : 



» .S'/, de quatre couples de points, toutes les combinaisons à trois se trouvent 

 sur des coniques, les quatre coniques ainsi déterminées coïncident. 



» Au moyen de ces deux théorèmes, on peut trouver les différents 

 groupes de quatre tangentes doubles à contact réel, dont les huit points de 

 contact se tiouvent sur des coniques. 



» Il existe deux espèces de tangentes doubles à contact réel : 1° celles 

 qui sont tangentes à une même branche clouée d'un arc rentrant; 2" celles 

 qui sont tangentes connnunes à deux branches différentes. Nous les appelle- 

 rons tangentes doubles de la première espèce et de la seconde espèce. Le couple 

 de points de contact d'une tangente double de la première espèce d'une 

 quartique ne peut être séparé par les points d'intersection avec deux 

 autres tangentes doubles ; car alors une de celles-ci aurait une intersection 

 avec la courbe. On voit ainsi que : 



» Tous les points de contact de tangentes doubles de la première espèce d'une 

 quartique se trouvent sur une conique. 



(i) Ces questions se sont présentées dans un Mémoire fort important de l'auteur Sur lu 

 théorie des deux caractéristiques, étendue aux courbes du quatrième ordre. Mémoire écrit 

 en danois, dont j'ai l'honneur de déposer un exemplaire de la part de l'auteur. 



(2) Si b et c se trouvent sur un uiêine des deux segments, l'interne et l'externe, intercep- 

 tés sur la droite infinie a, y.^ par les points a, et x., on dit qu'ils ne séparent pas ces points. 



