( 27» ) 



» Il s'ensuit qu'une qiiartiqne a, au plus, quatre tangentes doubles de 

 la première espèce. Elle ne peut donc avoir plus de quatre arcs rentrants, ni 

 plus de huit inflexions réelles. 



» On trouve encore qu'une quartique n'a aucune tangente double de la 

 seconde espèce, dont les points d'intersection, avec trois tangentes doubles de 

 la première espèce, se trouvent sur un seul des deux segments^ interceptés 

 par ses points de contact. En effet, on aperçoit, sans difficulté (i), que, s'il 

 y en avait, il existerait une (trois) autre tangente double de la seconde 

 espèce, dont aussi un seul des deux segments interceptés par les points de 

 contact serait rencontré par les trois tangentes doubles de la première 

 espèce. Alors les points de contact de toutes ces cinq tangentes doubles se 

 trouveraient sur une même conique, ce qui est impossible. 



» En se rappelant encore qu'une quartique ne peut avoir des branches 

 ouvertes (2) et qu'elle a, au surplus, quatre branches fermées, on trouve 

 quelles sont les différentes formes possibles de courbes du quatrième ordre. 

 Nous nous contenterons ici de nommer les formes présentant le nond)re 

 maximum d'arcs rentrantset de branches séparées; les autres résulteront de 

 l'évanouissement d'arcs rentrants ou d'ovales. Nous appellerons n-foUum 

 une branche fermée, douée de n arcs rentrants. Une branche fermée, sans 

 aucun arc rentrant, est un ovale. On trouve les formes suivantes : 



» I. I quadiifolium et 2 ovales externes; 



i> II. I quadriJoHum e\. i ovale interne ; 



M III. I trijolium, i unifolium et 2 ovales; 



» IV. 2 bijolia et 2 ovales; 



>; V. I bifolium, 2 unifolia et i ovale; 



» VI. 4 unifolia. 



» Les règles nommées ci -dessus laissent douteux, pour les courbes 

 douées de deux bifolia, si les quatre points de contact d'une de ces deux 

 branches avec les tangentes communes à celle-ci et à l'autre bifolium se 

 trouvent sur un même arc saillant ou deux sur l'un et deux sur l'autre des 

 arcs saillants; mais le premier de ces deux cas est impossible, parce que 



(1) S'il existe encore une tangente double de la première espèce, on aura immédiatement 

 cinq tangentes doubles dont les points de contact devraient se trouver sur une même 

 conique. 



(2) Une branche est ouverte ow fennec suivant qu'elle rencontre une droite en un nombre 

 impair ou pair de ))oints. Ndus ne parlons que de propriétés projectives, de façon que la 

 position de la courbe, par rapport à la droite à l'infini, est indifférente. 



