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dont le premier a pour valeur co^'"'~", et le second oj^. Ou a donc 

 A = w"'", et il est ainsi démontré, d'une manière entièrement rigoureuse, 

 que ia relation supposée est impossible, et que, par suite, le nombre e n'est 

 point compris dans les irrationnelles algébriques. 



» XIV. Il ne sera pas inutile de donner quelques exemples du mode 

 d'approximation des quantités auquel nous avons été conduit, et je considé- 

 rerai d'abord le cas le plus simple, où l'on ne considère que la seule expo- 

 nentielle e''. En faisant alorsy(:.) = 2(3 — x), nous aurons 



( ' e-'z'" i : — .r )'" dz 



l .■>.... m 1 



et 



1 / 



(I ' / ~: „lll~\ / „ .y, III ,/_ 



\ -^ ■ . lit — t J^ ^ ' ' 



■^"\z — X 



I . 2 . . . /« ■ 



Or on obtient immédiatement 



(z, Ç ; = r. + Ç 4- 2 7« + I — Jc-, 



d'où 



(rJo, o = 2111 + I — X, Q^a', n; = 2111 ■+- i, 



0(0, .r) = 2/// + 1 , jr, a-'i = 2 w + i + .i', 



et, par conséquent, ces relations 



C=>2/» + 1 - .r £^+ :2/;/ + i;£j„ 

 £,;, _^^= ,2111 -i- i) £,',', + : a m -h I -h X ) £„',. 



1) J'observerai maintenant qu'il vient, en retranchant membre a 



membre, 



,1 ,11 T. r," 1. -' 1 



de sorte que, ayant 



'm — -II! I '/), 5 



on en conclut 



f' — '" — t-' 



Joignons à cette équation la suivante : 



