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 vient m,[//,„-h |m(/n — i)] — /('« — i), si les deux courbes tn, et m ont 

 k points communs, car il faut retrancher de la première surface A cônes; 

 de degré m — i ayant pour sommets respectifs chacun de ces points et 

 pour base la courbe m. Si donc (p{m) est le degré de la surface engendrée 

 par les sécantes triples de la courbe 7», et que cette courbe se décompose 

 en deux autres de degrés p et q, ?('«) se composera : i° des degrés des 

 surfaces analogues pour ces deux courbes, ou o{p) -+- y (7); 2° des degrés 

 des surfaces engendrées par une ilroite s'appuyant une fois sur une des 

 courbes et deux fois sur l'autre, ou /^ [/',/-+- i7(</ — ')] = ^(? — pour 

 l'une, et q[hp-h^ij{p — i)] — A(/; — i) pour l'autre, k étant le nombre 

 des points communs aux courbes p et q. On aura donc 



?('«) = ?(/^) + ? 7) +/'[^ + i'7('/ - 0] + V ÏJ>p + !,pip -i)]-k ip + q - 2) 

 et, en remplaçant A par sa valeur tirée de l'équation (i), 



4- q[l'p + ^p{p - i)J - {pq + /'/, + /'v - f'm)[p + q- 2). 

 Faisant p ^= m — i et r/ = i, et remarquant que 9(1)= ^5 ^1 = o, 



(p(m) = o{in — + [m — 2)h„,— [m — 3)//,„_i — {{m — i]{in — 2). 

 De même 

 ç)(/?j — i) = o{in — 2) + {m — 3)//„,_, — {m — /i)//,„_2— i("' — 2)(//2 — 3) 



et ainsi de suite, jusqu'à 



y(3) = //,-//, -1(3 -0(3 -2) 



» Ajoutant ces équations membre à membre, il reste 



(2) 155 (in) = {m — 2) //,„ — ly^{in — i) (m — 2) = (m — 2) [//„, — | m [m — i )] . 



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On a ainsi le degré de la surface en fonction de m et de ^; la courbe ni 

 sera une courbe multiple de la surface d'ordre //,„— m + 2, puisque, d'un 

 point d'une courbe gauche de degré ni, on peut mener h,,, — m -h 2 droites 

 qui la rencontrent encore deux fois. 



» On peut s'en servir pour déterminer le nombre des droites situées 

 sur une surface du troisième degré; car si une telle surface rencontre une 

 surface de degré/) suivant une courbe de degré '5p, on aura h3,, = 'ip{p— i) 



