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et (p{'ip) = (3p— 2)[{h'3p— ^"ipCip — I ] = ^(3/j — 2)(3/) — 5). La courbe 



d'intersection de la première surface avec la surface f(3p), courbe de 

 degré égal à 3y(3/-i), se composera de la courbe 3p avec un ordre de 

 imiltiplicité égal à ^3^ — 3/j-f-2 ou à 3p'^~6p + 2 et des x droites prises 



1 p {p — (p — 2) p . . ,1, , - 



ciiacune ^-^ lois, puisqu elles coupent la surface p eu p points 



. « . • 1 ' ' ^ p {p — i) i P ~ 2) r 



et peuvent être considérées de ^-^ -^ façons comme sécantes 



triples de la courbe ?>p. On aura donc 



i/) (3/j - 2) (3/; - 5) = 3/^ (3/;^ _ G/; + 2^ + x ''^'' ~/l^^^ ~ ^^ ^ 



d'où l'on lire 



.r = 2"7. 



» Chercbons maintenant le nombre K'??) des sécantes quadruples de la 

 courbe m, et décomposons-la de nouveau en deux courbes p et q; ^{ni) 

 se composera évidemment : 1° de '|(/^) + |(7); 2° des droites qui ren- 

 contrent une fois l'une des deux courbes et trois fois l'autre, dont le nombre 

 est égal, si c'est la courbe p qui est coupée trois fois, au nombre des points 

 d'intersection de la courbe q avec la surface ^{p), c'est-à-dire à 



q(p-:t-^[//^-lp(p-l)] 

 en général, et à 



q{p- 2}[ hp~ y [p - I )] - A {hp- p+ 2), 



si les courbes p el q ont A points communs; égal aussi à 



P ('/ — 2) [fiq — {q (q — I ^] — A (Jiq — q A- a), 



si c'est la courbe q qui est coupée trois fois; 3° des droites qui rencontrent 

 deux fois chacune des courbes p et q. Ces droites sont, d'après une for- 

 mule connue, au nombre de hph^—\p[p—\)\q[q — i), si les courbes 

 ne se coupent pas. Si elles se coupent en k points, il faut en retrancher, 

 pour chaque point, les droites d'intersection de deux cônes de degrés^ — i 

 et (7 — I, ayant le point pour sommet et les deux courbes pour bases res- 

 pectives, ce qui fait k{p — i)(q —\), moins |A(A- — i); car, dans ce 

 compte, les droites qui joignent les A' points deux à deux sont comptées 

 deux fois. Ce nombre est donc 



Ap/'î+l7^(/'-0l<?(7-')-''(/'-')('7-') + ï^('^--0- 



