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 On a donc 



+ '''/, k/ + V p y p ~ i) iq {q ~ i) — k [ />!, + h,i — m -H 4) 



~^\p-h.q - i) + U{k-i). 



Remplaçant k par sa valeur tirée de (i), faisant /; = m — 2, (/ = 2 et ré- 

 duisant, il reste 



— i^m-. — i('« - 2){2m-— 2C)m + 75). 



Remplaçant m par /w — 2, /« — 4v jusqu'à 4, si "^ est pair, 3 si ^7^ est 

 impair, ajoutant membre à membre, on arrive, dans le premier cas, à 



^[m) —{h,„{h,„ — 4m +11)— ^ \ ('« — 2)(2m-— 29/?/ + yS), 

 avec m = ap; dans le second cas, à 



H'») =i^-n{^;«— 4'«4- Il)+ I — g^('"— 2^.2/H-— 29W4-75), 



avec m = ip + i ; et dans les deux cas, toute sommation faite, à la formule 

 générale chercliée 



(3) <\i[m) = yi,„(h,„ — l\m -h ii) —^mhn — 2){m — 3) {m— i3). 



» On peut encore, au moyen de cette formule, trouver le nombre des 

 droites situées sur une surface du troisième degré; car, si une telle surface 

 rencontre une surface de degré p suivant une courbe de degré 3^9, les 

 sécantes quadruples de la courbe ayant quatre de leurs points sur la pre- 

 mière surface y seront tout entières; réciproquement, toutes les droites 

 cherchées rencontrant la surface p et par suite la courbe 3p en p points 



pourront être considérées de^^-^^^ — ^-^ — ^^', ^ ~ — ' façons comme sécantes 

 ' 1.2.3.4 ' 



quadruples de la courbe 3/7; on aura donc 



j}[p — i)ip~ i){/'— 3) 



<^{3p) = x' 



1.2.3./^ 



d'où l'on tire x = 27, en remplaçant, dans i^{m),in par 3/j et /^„, par 

 3/j(/j-i). » 



C. R., 1873, 2" Semestre. (T. LXXVU, N" 7.) ^'^ 



