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courbes ayant à l'infini des points multiples communs avec des tangentes 

 comnuuies la formule donnée par M. Chasles pour déterminer le nombre 

 des points d'intersection qui sont à distance finie. 



1) Les méthodes ordinaires se prêtent peu à des investigations de ce 

 genre, car, sauf dans des cas simples, elles ne permettraient d'obtenir 

 l'ordre des différents contacts que par des calculs pénibles (*). Je me 

 propose de montrer que les opérations deviennent, au contraire, faciles 

 lorsque l'on remplace l'équation de chaque courbe par les équations 

 caractéristiques des différentes branches qui se croisent au point multiple 

 commun, suivant une méthode que j'ai fait connaître, en 1869, dans un 

 Mémoire inséré au Journal de Matltématiques pures et appliquées. 



)> Je vais exposer sur un exemple la marche à suivre, en considérant 

 deux courbes du septième ordre ayant deux points multiples communs 

 avec tangentes communes, l'un à l'origine des coordonnées, l'autre à 

 l'infini. 



Les deux courbes sont 



(i) S = [x -h 1) /^ -{- jc'^ [x- — 2)j^— Ji:^j'+ 2X*;- — .r' = o, 



(2) S'= (x — l)/*— X^(X- — 2)j-' — X-(jC-— "iX — i)j>""— 2X*j-i-x' = o, 



ou, en appelant u le rapport — > 



(1 his) S = (x + i)«* 4- .r(j:^— 2)«' — .r«^ -H a.r-« — .r' = o, 



i S' = {x — 1)11'' ~ x[x- — 2)iâ — (x'-' — 2X — \)u^ 

 (2 ois) 



l — 2X11 -i- X- =^ o. 



n 2, Recherclie des équations caractéristiques des brandies qui se croisent 

 à l'origine. — La courbe S possède quatre branches tangentes à l'origine 

 à l'nxe des abscisses. Lorsque x est infiniment petit, l'équation (1 bis) 

 donne pour u quatre valeurs infiniment petites qui correspondent à ces 

 branches. Pour déterminer leurs grandeurs principales, on peut ne con- 

 server dans les coefficients des diverses valeurs de u que le terme de 

 l'ordre le moins élevé en x, et même, dans l'équation ainsi réduite, sup- 

 primer le terme — 2.r«', qui disparaît devant —xu"^, quel que soit l'ordre 

 de II par rapport à x. 



(*) Fo/r sur ce sujet les observations présentées par M. Painvin dans le Bullciin des 

 Sciences mfithématirjnes; mars 1873. 



