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 B L'équation (i bis) devient alors 



(3) u* — X u'' -{- 2 x^ u — j:' — o. 



Les valeurs de u qui satisfont à cette équation sont données par 

 A. = ir — .r ^ o, B| = ir — sx + .r- = o. 



On voit, en effet, que, lorsque l'on suppose u de l'ordre |, les deux der- 

 niers termes de l'équation (3) disparaissent devant les premiers, et que 

 ceux-ci s'annulent si l'on admet l'équation A. De même, quand u est du 

 premier ordre, le premier terme de l'équation (3) dispai-aît, et les autres 

 se détruisent en vertu de la relation B,. 



1) La branche A présente à l'origine un rebroussement du premier 

 ordre. L'équation B détermine pour u deiix valeurs égales à jc; afin de 

 savoir si elle correspond à deux branches osculatricës Ou à uh rebrousse- 

 ment du second ordre, il faut prendre dans (i bis) les termes les plus rap- 

 prochés par leur ordre de ceux qui donnent ces valeurs, et y attribuer 

 à u sa grandeur principale x ['). On trouve 



B = M — X ± \J — x^ = o. 



» En opérant d'une manière analogue pour la seconde courbe, on ob- 

 tient 



tV = u ± i = o, B' = « — J? ± y'— 2X' = o. 



M Ainsi la courbe S' possède à l'origine un point quadruple formé par 

 deux branches simples qui se croisent, et un rebroussement du second 

 ordre ayant l'axe des abscisses pour tangente de rebroussementi 



» 3. Détermination du nombre des points que les courbes ont en commun à 

 l'origine. — Je vais maintenant prendre les intersections à l'origine des 

 branches élémentaires des deux courbes. 



» Chacune des branches simples A' détermine deux points sur les 

 branches à rebroussement A et B. Nous avons ainsi huit points. 



» Pour comparer les équations B et B', je les mets en coordonnées or- 

 dinaires 



B = [j— x^)^ + x'"' = o, B' = {j — x^)- + 2 j:'* = o, 



(*) Il n'est utile d'avoir la valeur B que parce fjue la courbe S' a une branche B' ayant 

 un rebroussement du second ordre et un même rayon de courbure que B; Sans l'existence 

 de la branche B', l'équation B serait suffisante. 



