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 el je pose 



1 = B' — B = x^ — o. 



» Les vingt-cinq intersections de 2 avec B sont les mêmes que les vingt- 

 cinq de B avec B'; or 1 se compose de cinq fois l'axe des ordonnées, et 

 cet axe rencontre la branche B en deux points à l'origine, donc les branches 

 B et B' ont dix points communs à l'origine. 



» En opérant d'une manière analogue pour les branches A et B', on 

 trouve six points. 



» Les deux courbes S et S' ont donc vingt-quatre points d'inter- 

 section réunis à l'origine. 



» Le procédé qui m'a donné le nombre des points communs aux bran- 

 ches B et B' est imité de la méthode ingénieuse et sûre employée par 

 M. Painvin pour déterminer, à un point multiple d'une courbe, le cercle 

 osculateur de l'une de ses branches [Annali di Matematica, IP série, t. IV, 



p. 2l6). 



» 4. Recherche des points communs situés à riufnii. — La courbe S a une 

 asymptote parallèle à l'axe des abscisses et dont l'équation est 



C = jc -\- i = o. 



» Quand jc et j' sont très-grands, plusieurs termes de l'équation (i) dis- 

 paraissent, et il reste, en divisant par le facteur commun x, qui corres- 

 pond à la branche C, 



; ' + jc^j-^ -+- ix''y — a" = o. 



M Par des raisonnements analogues à ceux de l'article 2, on déduit de 

 cette relation les équations caractéristiques suivantes pour les branches 

 infinies : 



D = j + x' = o, E = j" — X i= o, F = j"- 4- x/ 4- X* = o. 

 )) Lorsque l'on considère S', on obtient trois branches infinies 

 C'=x — 1 = 0, D'=r-.r' = o, L' = y' — x- = o. 



» Les branches E et F déterminent à l'infini des points qui n'appartien- 

 nent pas à S'; je peux donc les négliger, ainsi que E', qui se trouve dans le 

 même cas par rapport à S. 



» C et C déterminent un point, C et D' deux, D et C deux, D et D' six. 

 Les deux courbes S et S' ont ainsi onze points communs coïncidant à l'infini 

 sur l'axe des ordonnées. 



