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 J{x, y) = p étant donnée, on puisse en trouver une autre y^ (x, y) = /5, 

 orthogonale à la première el; satisfaisant à la seconde relation (3). L'équa- 

 tion caractéristique des cylindres^ (a:, j-) = p est donc 



(5) 



cLk 



l'iir+fj ^'''- 



<i[p- + r 



^]-o, 



ou bien, en développant les calculs et appelant, comme à l'ordinaire, 

 /', s, t les trois dérivées secondes en dx^, dxdj, dj- de la fonction à dé- 

 terminer p, 



(G) (p- — /r(j-)r -h 2{i +• l<-)pqs + [q- — f^" p') t ~. o. 



» Cette équation, qui se réduit, pour y = o ou A" = i , à celle que j'ai 

 intégrée dans l'article cité du 29 janvier 1872, se traitera exactement de 

 la même manière. On lui appliquera d'abord la transformation de Le- 

 gendre, c'est-à-dire qu'on prendra pour variables indépendantes p, q, et, 

 pour fonction à déterminer, l'expression sj =p.r + qj' — p, dont x etj- 

 sont les deux dérivées respectives en p et ^; il viendra ainsi 



/ \ 11/ ^d'a d'u .,d-ûi\ I ^d'u d-vj ., f/'rrX 



par le paramètre différentiel du premier ordre, h ou \/p^-i-q^ , de la famille 



considérée de cylindres, et par l'angle a (ayant pour tangente - 1 que leur 



normale en [x^j) fait avec les x positifs : ces deux nouvelles variables 

 définissent complètement, la première en grandeur, la seconde en direc- 

 tion, l'état mécanique du milieu au point [Xjj'); ce sont des coordon- 

 nées naturelles caractérisant chaque état physique possible, tout comme 

 leurs deux fonctions x, j caractérisent le point du corps où cet état se 

 trouve réalisé. Les équations du problème deviendront ainsi 



(8) 



d%- dir dh 



rfe r/n si ri a ffo . dzs rosz 



-— cosa — , r = -T^sina4- — ■ 



dn d'j. h -^ du du. h 



» Lorsqu'on aura obtenu, par l'intégration de la première (8), zs en a 

 et /(, la seconile et la troisième (8) donneront les valeurs cherchées Aux 

 et de /. 



