( 670 ) 



» Les intégrales simples de la première (8) sont de l'une des formes 



Ur^l^Ae '' +Re " j[c/("' +D7/='- J, 



(^ = M/i ou cosinus [« V (^^^j -<-'^""'"-J ou cosinus ("*log^)' 



où A, B, C, D, 71, M, m représentent des constantes quelconques. En su- 

 perposant, comme je l'ai lait dans l'article cité du 29 janvier 1872, une 

 double infinité de celles de ces intégrales simples qui sont périodiques, on 

 aura l'intégrale générale que comporte la question, c'est-à-dire luie inté- 

 grale contenant explicitement deux fonctions arbitraires, dont on pourra 

 disposer de manière à donner, pour a = o, des valeurs quelconques, en 



fonction de h, à zs et k -—, ou encore à x et à r. 



» J'ai reconnu l'intégrabilité de l'équation (7) et même de la suivante, 

 qui est plus générale, 



i {k^x- —y-)r-\- 2{k--Jri)xj's 

 ' \ -\-[k-j- — x-)t + {ax-\-bj')p-^{aj — hx)q-^cz^o 



(où X, y désignent les deux variables indépendantes, z la fonction incon- 

 nue, p, q, /•, .y, t ses dérivées des deux premiers ordres, A-, a, b, c des con- 

 stantes quelconques), en me servant de la transformation de Laplace, que 

 j'ai exposée dans une Note du 11 mars 1872 [Comptes rendus, t. LXXIV, 

 p. 730), sans savoir qu'elle était connue depuis longtemps. Cette transfor- 

 mation a pour résultat de faire évanouir de l'équation linéaire du second 

 ordre, aux dérivées partielles et à deux variables indépendantes, les deux 

 termes affectés des dérivées r, t, de manière à la réduire (quand elle est 

 sans second membre) à la forme simple 



(11) s -hVp+ Qq -\- Lz = o. 



On ne l'avait appliquée jusqu'à présent qu'à la recbercbe des intégrales 

 sous forme finie que ces équations admettent dans certains cas; mais elle 

 est susceptible d'un autre emploi, plus important en Physique mathéma- 

 tique, et dont j'ai donné dtux exemples dans la Note du ii mars 1872 : 

 elle est propre à transformer, toutes les fois que c'est possible, une équation 

 linéaire à coefficients variables en une autre à coefficients constants, et par 

 conséquent intéqraôlc en série d'exponentielles réelles ou imaginaires. En effet, 

 si l'équation |)ro[)osée peut être changée en une autre à coefticients con- 



