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» Nous rappellerons d'abord quelques théorèmes, extraits de Commu- 

 nications antérieures de l'auteur, qui sont des préliminaires nécessaires du 

 travail actuel. C'est ainsi que tout s'enchaîne progressivement et laborieu- 

 sement dans les théories de pure Géométrie. 



» Nous citerons : i° In détermination du plan oscillateur et du rajon de 

 courbure de la liajecluire d'un point quelconque d'une droite dont quatre points 

 se déplacent sur quatre surfaces données [Comptes rendus, t. LXX, p. 121 5); 

 2° la construction de l'axe de courbure de la surface dévelopjpable enveloppe 

 d'un plan qui se déplace en satisfaisant à quatre conditions [ibid., t. LXX, 

 p. laSg) ; 3" le lieu des centres de courbure des points d'une droite mobile dans 

 l'espace: courbe à double courbure du cinquième ordre [ibid. , t. LXXVI, 

 p. 55i); 4" '<-" ^'C" des centres des splières osculatrices des trajectoires des points 

 d'une droite: cubique gauche [ibid., t. LXXVf, p. 635). 



» Passons au Mémoire actuel. On sait que, dans tout mouvement infini- 

 ment petit d'ime figure dans l'espace, les plans normaux aux trajectoires 

 de tous les points d'une droite G passent tous par une même droite G', 

 qu'on a appelée la conjuguée de G, et laquelle, considérée comme partici- 

 pant au mouvement de la figure, a pour conjuguée, réciproquement, la 

 droite G. 



M Tous les mouvements infiniment petits que peut prendre luie droite G 

 quelconque, dont le déplacement n'est assujetti qu'à quatre conditions, 

 donnent lieu, chacun, à une conjuguée G'. M. Mannheim démontre d'abord 

 ce théorème fort important, que les normales aux surfaces trajectoires des 

 différents points d'une droite G s'appuient toutes sur une quelconque des droites 

 conjuguées G', conséquemuient sur deux droites conjuguées, et forment donc 

 un hyperboloide ; d'où s'ensuit que toutes les conjuguées d'une droite G, rela- 

 tives à tous les déplacements que comportent les quatre conditions du déplace- 

 ment de lafiijwe, forment un hyperboloide dont la droite G est elle-même une 

 génératrice du même système que ses conjuguées, les génératrices de l'autre 

 système étant les normales aux surfaces trajectoires des points de la droite G. 



» Que l'on considère, maintenant, un point quelconque m de la figure 

 en mouvement, la normale à la surface trajectoire de ce point m rencontre en 

 deux points l'hyperboloïde dont il vient d'être question, et, conséquemmenf , 

 s'appuie sur deux des conjuguées de la droite G. Or, autre fait très-impor- 

 tant, M. Mannheim démontre que ces deux conjuguées sont toujours les mêmes 

 pour tous les points de la jlgwe en mouvement. 



» Ces deux droites, que l'auteur désigne par les lettres D et A, jouissent 



G. R., 1873, 1' Semestre. (T. LXXVIl, N» 14.) 9^ 



