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nécessairement, dans les déplacements de la figure, d'nne propriété parti- 

 culière et caractéristique; celte propriété est que chaque point de cliarune 

 des deux droites ne peut décrire, dans lotis les déplacements jiossibles île la figure, 

 quun seul élément linéaire (au lieu d'un élément de surface) : le plan normal 

 à cet élément passe par l'autre droite. 



» Ces propriétés remarquables forment le premier paragraphe du Mé- 

 moire. 



» Dans le paragraphe suivant, M. Mannheim démontre diverses propriétés 

 des surfaces trajectoires des points d'une droite, dérivant princip;dement de 

 la considération de l'hyperboloïde lieu des normales à ces surfaces trajec- 

 toires. Nous citerons les suivantes : 



» Parmi les surfaces trajectoires des points d'une droite, il j en a deux qui 

 sont tangentes à la droite. 



» La développable, enveloppe des plans tangents aux surfaces trajectoires des 

 points d'une droite, est du quatrième ordre et de la troisième classe. 



» Les plans normaux aux surfaces trajectoires des points d'une droite, menés 

 par les éléments rectilignes d'un déplacement quelconque, déterminent, dans ces 

 surfaces tr-ajectoirvs, des sections dont les centres de courbure sont sur une cu- 

 bique gauche. 



» Puis M. Mannheim cherche combien il y a de points, sur une droite, 

 qui décrivent des trajectoires satisfaisant à diverses conditions, relatives aux 

 surfaces trajectoires de ces points. 



» Ainsi il détermine : 



» 1° Combien il y a de points, sur une droite, dont les trajectoires 

 soient tangentes aux lignes asymptotiques des surfaces trajectoires de ces 

 points; 



» 2° Combien dont les trajectoires soient osculatrices aux lignes géodé- 

 siques des surfaces trajectoires, et dont les plans osculateurs, dés lors, soient 

 normaux aux surfaces trajectoires; 



» 3° Combien dont les trajectoires ont leur rayon de courbure nul; 



u 4" Combien dont les surfaces trajectoires ont un rayon de courbure 

 principal nul ; 



)) 5" Combien dont les trajectoires sont tangentes aux lignes de cour- 

 bure des surfaces trajectoires ; 



» 6° Combien dont les surfaces trajectoires ont un rayon de courbure 

 principal infini ; 



» 7° Combien dont les surfaces trajectoires ont leurs rayons de cour- 

 bure principaux égaux; 



