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» 8° Enfin combien dont les surfaces trajectoires ont leurs rayons de 

 courbure principaux égaux et de signes contraires. 



» Considérant les trajectoires, non plus simplement des points d'une 

 droite, mais de tous les points de la figure en mouvement, M. Mannheim 

 parvient à divers théorèmes qui étendent ce vaste sujet de recherches. 



» Il nous faut citer ses résultats principaux pour donner une idée de la 

 nouveauté et de l'importance qu'ils comportent. 



» Le lieu des points dont les trajectoires, dans un quelconque des déplace- 

 ments que permettent quatre conditions données, sont tangentes à des lignes 

 asjinptotiques des surfaces trajectoires de ces points, est une surface du troi- 

 sième ordre qui conlieîit les deux droites D et A et le cercle imaginaire de 

 l^ infini. 



» Le lieu des points dont les trajectoires ont leurs plans osculaieurs normaux 

 aux surfaces trajectoires de ces pomts est une surface du sixième ordre, qui passe 

 par le cercle imaginaire de iinfmi. 



» Le lieu des points dont les surfaces trajectoires ont un rayon de courbure 

 principal nul est la surface réglée du quatrième ordre dont les génératrices s'ap- 

 puient SUT les deux droites D, A et sur le cercle imaginaire de l'infini. 



» Le lieu des points dont les trajectoires ont leur rayon de courbure nul est 

 une surface imaginaire du second ordre. 



M M. Mannheim appelle point parabolique sur une surfiice un point où la 

 surface a l'un de ses rayons de courbure principaux infini. Il trouve que 

 les points d'une figure en mouvement, qui sont des points paraboliques de leurs 

 surfaces trajectoires, forment une surface du sixième oirlre qui passe par le cercle 

 de l'iiifni. 



)) Enfin, le lieu des points dont les surfaces trajectoires ont leurs rayons de 

 courbure principaux égaux est une surface du huitième ordre. 



M Et le lieu des points dont les surfaces trajeclob^es ont leurs rayons de 

 courbure principaux égaux et de signes contraires est une surface du cinquième 

 ordre. 



» En terminant, l'éminent géomètre fait observer qu'en ce qui concerne 

 les trajectoires des points d'une droite faisant partie d'une figure en mou- 

 vement, il a toujours été question d'une droite quelconque; mais qu'il 

 y a certaines droites jouissant de propriétés particulières. Il annonce 

 qu'il reviendra sur ce sujet, qui lui donnera lieu de considérer aussi ce qui 

 se rapporte à des plans de la figure en mouvement, et particulièrement aux 

 surfaces trajectoires des points de ces plans, lesquelles ont leurs centres de 

 courbure principaux sur une surface du sixième ordre, qui présente quel- 



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