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» Boni-, pour Irailer la même question, commence par adopter le sys- 

 tème tics variables de M. Bertrand; puis il substitue huit autres variables, 

 qui sont fonctions des |)remicres. L'avantage qu'il obtient par ce change- 

 ment consiste en ce que les huit équations différentielles auxquelles il est 

 conduit ont la forme hamiltonienne. 



» Mais il y a lieu de remarquer que, si aux huit intégrales des équations 

 hamiltoniennes qui renferment celle des forces vives, on ajoute les trois in- 

 tégrales des aires, ou n'obtient que onze intégrales, tandis que la solution 

 du problème en doit renfermer douze. On doit faire une seconde remarque : 

 on doit en général regarder la solution d'un jn-oblème de calcul intégral 

 connue beaucoup plus satisfaisante, si l'on obtient, pour intégrales, des 

 équations résolues par rapport aux inconnues et qui dispensent de toute 

 élimination. Or, dans le problème actuel, en imaginant même que la dou- 

 zième intégrale soit trouvée, les éliminations auxquelles on serait obligé 

 pour déterminer les coordonnées des corps conduiraient à des calculs 

 inextricables et qui en rendraient impossible toute application à l'Astro- 

 nomie. 



» Le Mémoire actuel a pour but de montrer comment on devra procé- 

 der, après l'intégration des huit équations hamiltoniennes, dans la supposi- 

 tion que les huit inconnues de ces équations soient exprimées au moyen 

 du temps. Je prouve, en effet, qu'on n'aura plus qu'à faire des quadratures 

 et à intégrer une équation différentielle ordinaire du second ordre. J'en 

 conclus les coordonnées des trois corps, sans faire aucune élimination. 



» En s'appuyant sur le principe de la conservation du mouvement du 

 centre de gravité, on peut remplacer le système des trois corps par lui 

 corps fixe IM et deux corps mobiles seulement m et w,. 



» Désignons par /• et r, les distances de m et /??, à M, et par a et «, les 

 angles formés par les rayons r et r,, avec une droite S ainsi définie : S est 

 l'intersection du plan des trois corps avec la position infiniment voisine 

 qu'il occuperait, si, M restant fixe, ui et 7J2, se déplaçaient normalement à 

 ce plan, de quantités égales à — Iv/v/^ et -f- K,;-, <f<, en posant 



Kr-w/-B, K, = »j,/7B,, 



et désignant par B(/< et B,f// les vrais déplacements angulaires normaux 

 des points ni et /«,. Enfin, désignons par kdt et k,dt les déplacement an- 

 gulaires autour de M des corps m et /w, dans le plan variable des trois 

 corps, et posons 



