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 ef, si le plan touche U dans les trois points P, P,, P2, on aura les condi- 

 tions suivantes : 



o. o-i=o, 0"2 = 0, 



(9) 



/ o' 



01" = o, 



02- == O, 



\' =0, 

 12" = O, 



l' 2 = O, 



— O, 



et, dans ce cas-là, l'équation (8) se réduit à la forme 



(10) oi2X[j.v = o : 



c'est-à-dire qu'il faut que X = o, ou 11 = o, ou v = o. Eu posant X ^ o, on 

 trouve que X3 = p.x, -H vx^, ^3 = . . ., z, = . . . , ^3 = . . . , et, par consé- 

 quent, le plan rencontrera la surface dans une droite dont les équations 

 seront 



(«0 



= o. 



On peut donc conclure que chaque plan tangent triple rencontre une 

 surface du troisième degré en trois droites qui se coupent deux à deux 

 dans les points P, P,, Pj. 



» Passons au quatrième degré. En se servant des mêmes conditions, 

 on trouvera que l'équation de la courbe d^ contact prendra la forme 

 suivante : 



(12) 



l^2'lJ.'v' 



2- O- v'^1- + O- 1"^!- [j.- -h 2[o- \ 2X4-oi-2/l;.-|-oi2^v)X/j.v = 0; 



ce qui représente luie courbe du quatrième degré, unicursale, trinodale, 

 dont les trois nœuds se trouvent aux points P, P,, Pj. 



» Dans le cas d'une surface d'ini degré^uelconque n, on trouve une 

 propriété semblable. En effet, quand le plan touche la surface dans les 

 trois points P, P,, Pj, l'équation de la courbe d'intersection prend la 

 forme 



(i3) X/jiv(X, p., v)"-' + p.-v-(/^., v)«-" + v=X-(v, X)"-' -i- X-/J.^(X, p.)«-*= o. 



En posant X =: o, on en tire p.-v- (/->., v)""* = o, c'est-à-dire que la courbe 

 coupe le côté BC du triangle fontlamental deux fois dans le point B et 

 deux fois dans le point C, et ainsi de suite pour les autres côtés du triangle. 

 En outre, la courbe coupe le côté BC dans les points donnés par l'équation 

 (fx, v)"-* = o. » 



